Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.4. Funkcijas pārtraukuma punkti un to Augstāk: 4. FUNKCIJAS NEPĀRTRAUKTĪBA Iepriekšējais: 4.2. Nepārtrauktu funkciju pamatīpašības

4.3. Funkcijas vienpusējā nepārtrauktība

4.5. definīcija. 

Funkciju $f$ nosauksim par nepārtrauktu punktā
$x_0\in D(f)$ no kreisās puses (vai no labās puses), ja

$$\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ x<x_0}}f(x)=f(x_0) \quad($$vai$$\;\;\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ x>x_0}}f(x)=f(x_0))\/.$$

4.1. zīm. attēlota nepārtraukta punktā $x_0$ no kreisās puses funkcija, bet 4.2. zīmējumā - nepārtraukta punktā $x_0$ no labās puses funkcija.

4.1. zīm.

4.2. zīm.

Apskatīsim dažus piemērus.

1. $f(x)=[x]$.
   Ja $x_0$ - vesels skaitlis, tad
   $$f(x_0)=\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ x>x_0}}f(x)\/.$$
   Tas nozīmē, ka funkcija nepārtraukta visos šādos punktos no labās puses.
   Tā kā
   $$f(x_0)\neq\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ x<x_0}}f(x)\/,$$
   tad funkcija nav nepārtraukta punktā $x_0$ no kreisās puses. Piemēram, $f(1)=1$, $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 1\\ x<1}}f(x)=0$, $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 1\\ x>1}}f(x)=1$ (2.5. zīm.).
   Pārējos punktos šī funkcija ir nepārtraukta gan no kreisās, gan no labās puses.
2. $f(x)=\sign x$.
   Šai funkcijai $f(0)=0$, $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x<0}}f(x)=-1$, $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x>0}}f(x)=1$ (3.27. zīm.). Tāpēc tā nav nepārtraukta punktā $x=0$ ne no kreisās, ne no labās puses.
3. $f(x)=\sqrt{x}$.
   Funkcija nav definēta pa kreisi no punkta $x=0$ un $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x>0}}f(x)=0$ (4.3. zīm.).

4.3. zīm.

4.1. piezme. 

Ja punktā $x_0$ funkcija ir nepārtraukta, piemēram, no labās puses, bet pa kreisi no šī punkta tā nav definēta, tad uzskatīsim, ka funkcija ir nepārtraukta punktā $x_0$.

Tātad funkcija $f(x)=\sqrt{x}$ ir nepārtraukta punktā $x=0$. Ar funkcijas robežu tādā punktā saprot tās vienpusējo robežu. Šajā piemērā

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\sqrt{x}= \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x>0}}\sqrt{x}=0\/.$$

4.9. teorēma. 

Funkcija $f$ ir nepārtraukta punktā ^4.2 $x_0$ tad un tikai tad, ja tā ir nepārtraukta šajā punktā gan no kreisās, gan no labās puses.

$\blacktriangleright$ Nepieciešamība. Tā kā funkcija $f$ nepārtraukta punktā $x_0$, tad $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$. Tas nozīmē, ka šajā punktā funkcijai eksistē vienādas vienpusējās robežas $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ x<x_0}}f(x)$, $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ x>x_0}}f(x)$ un šīs robežas ir vienādas ar $f(x_0)$. Seko, ka funkcija nepārtraukta punktā $x_0$ gan no kreisās, gan no labās puses.

Pietiekamība. Tā kā funkcija $f$ nepārtraukta punktā $x_0$ gan no kreisās, gan no labās puses, tad

$$\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ x<x_0}}f(x)=f(x_0)$$   un$$\quad\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ x>x_0}}f(x)=f(x_0)\/.$$

Seko, ka eksistē $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ un tā ir vienāda ar $f(x_0)$. Funkcija $f$ ir nepārtraukta punktā $x_0$. $\blacktriangleleft$

4.2. piezme. 

Šī teorēma ļauj punktā $x_0\in D(f)$ nepārtrauktu funkciju definēt ar šādu vienādību

$$\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ x<x_0}}f(x)= \lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ x>x_0}}f(x)=f(x_0)\/.$$

Piemēram, funkcijai

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} x^2, & \text{ja} & x\leq0; \\ x, & \text{ja} & x>0 \\ \end{array}\right.$$

$$\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x<0}}f(x)= \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x<0}}x^2=0\/,$$

$$f(0)=0^2=0,$$

$$\lim\limits_{\substack{x\rightarrow ... ...>0}}f(x)= \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x>0}}x=0\;\;(\ref{ievgraf54}~ .).$$

Tātad

$$\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x<0}}f(x)= \lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x>0}}f(x)=f(0)\/,$$

t.i., funkcija ir nepārtraukta punktā $x=0$.

4.4. zīm.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.4. Funkcijas pārtraukuma punkti un to Augstāk: 4. FUNKCIJAS NEPĀRTRAUKTĪBA Iepriekšējais: 4.2. Nepārtrauktu funkciju pamatīpašības