Matemātika
DU TSC
Nākamais: 4.3. Funkcijas vienpusējā nepārtrauktība
Augstāk: 4. FUNKCIJAS NEPĀRTRAUKTĪBA
Iepriekšējais: 4.1. Nepārtrauktas funkcijas jēdziens
Nepārtrauktu funkciju svarīgākās īpašības apraksta šādas teorēmas.
-
4.1. teorēma.
- Nepārtrauktas funkcijas modulis ir
nepārtraukta funkcija.
-
4.2. teorēma.
- Nepārtrauktas funkcijas
reizinājums ar konstanti ir nepārtraukta funkcija.
-
4.3. teorēma.
- Divu nepārtrauktu funkciju summa
ir nepārtraukta funkcija.
-
4.4. teorēma.
- Divu nepārtrauktu funkciju
reizinājums
ir nepārtraukta funkcija.
-
4.5. teorēma.
- Divu nepārtrauktu funkciju
dalījums
ir nepārtraukta funkcija.
Pierādīsim tikai vienu no šīm teorēmām, piemēram,
4.5. teorēmu.
Izvēlēsimies patvaļīgu
. Šis punkts
un
. Tā kā funkcijas
un
ir nepārtrauktas, tad

un
Saskaņā ar teorēmu
par divu funkciju dalījuma robežu eksistē
Tātad
- nepārtraukta funkcija.
Līdzīgā veidā pierāda visas pārējās teorēmas.
-
4.6. teorēma.
- [Par robežpāreju zem nepārtrauktas funkcijas
zīmes]
Ja eksistē galīga robeža
un funkcija
nepārtraukta punktā
, tad
Tā kā funkcija
nepārtraukta punktā
, tad
. Saskaņā ar saliktas funkcijas
robežu
- Sekas.
- Ja funkcija
nepārtraukta punktā
un
virkne
konverģē uz
, tad
funkcijas vērtību virkne
konverģē uz
.
Tā kā virkne
konverģē uz
, tad
. Tā kā funkcija
nepārtraukta punktā
, tad
. Saskaņā ar 4.6. teorēmu
Seko, ka virkne
konverģē uz
.
-
4.7. teorēma.
- Ja jebkurai uz
konverģentai virknei
atbilstošā virkne
konverģē uz
, tad funkcija
nepārtraukta punktā
.
Šo teorēmu viegli pierādīt no pretējā.
No 4.6. teorēmas sekām un 4.7. teorēmas izriet
punktā nepārtrauktas funkcijas vēl viena definīcija
(līdzvērtīga iepriekšējām).
-
4.4. definīcija.
- (Pēc Heines4.1 jeb virkņu
valodā).
Funkciju
nosauksim par nepārtrauktu punktā
,
ja jebkurai virknei
, kas konverģē uz
, atbilstošā virkne
konverģē uz
.
-
4.8. teorēma.
- (Par saliktas funkcijas nepārtrauktību)
Ja funkcija
nepārtraukta punktā
un
nepārtraukta atbilstošajā punktā
, kur
, tad
salikta funkcija
nepārtraukta punktā
.
Pierāda, izmantojot 3.15. teorēmu par saliktas funkcijas
robežu.
Matemātika
DU TSC
Nākamais: 4.3. Funkcijas vienpusējā nepārtrauktība
Augstāk: 4. FUNKCIJAS NEPĀRTRAUKTĪBA
Iepriekšējais: 4.1. Nepārtrauktas funkcijas jēdziens
2003-02-24