Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.3. Funkcijas vienpusējā nepārtrauktība Augstāk: 4. FUNKCIJAS NEPĀRTRAUKTĪBA Iepriekšējais: 4.1. Nepārtrauktas funkcijas jēdziens

4.2. Nepārtrauktu funkciju pamatīpašības

Nepārtrauktu funkciju svarīgākās īpašības apraksta šādas teorēmas.

4.1. teorēma. 

Nepārtrauktas funkcijas modulis ir nepārtraukta funkcija.

4.2. teorēma. 

Nepārtrauktas funkcijas reizinājums ar konstanti ir nepārtraukta funkcija.

4.3. teorēma. 

Divu nepārtrauktu funkciju summa ir nepārtraukta funkcija.

4.4. teorēma. 

Divu nepārtrauktu funkciju reizinājums ir nepārtraukta funkcija.

4.5. teorēma. 

Divu nepārtrauktu funkciju dalījums ir nepārtraukta funkcija.

Pierādīsim tikai vienu no šīm teorēmām, piemēram, 4.5. teorēmu.

$\blacktriangleright$ Izvēlēsimies patvaļīgu $x_0\in D\left(\frac{f}{g}\right)$. Šis punkts $x_0\in D(f)$ un
$x_0\in D(g)$. Tā kā funkcijas $f$ un $g$ ir nepārtrauktas, tad

$$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$$   un$$\quad \lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)=g(x_0)\/.$$

Saskaņā ar teorēmu par divu funkciju dalījuma robežu eksistē

$$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{\lim\limit... ..._{x\rightarrow x_0}g(x)}=\frac{f(x_0)}{g(x_0)}=\left(\frac{f}{g}\right)(x_0)\/.$$

Tātad $\frac{f}{g}$ - nepārtraukta funkcija. $\blacktriangleleft$

Līdzīgā veidā pierāda visas pārējās teorēmas.

4.6. teorēma. 

[Par robežpāreju zem nepārtrauktas funkcijas zīmes]

Ja eksistē galīga robeža $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=y_0$ un funkcija $g(y)$ nepārtraukta punktā $y_0$, tad

$$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g\bigl(f(x)\bigr)=g\bigl(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)\bigr)\/.$$

$\blacktriangleright$ Tā kā funkcija $g$ nepārtraukta punktā $y_0$, tad $\lim\limits_{y\rightarrow y_0}g(y)=g(y_0)$. Saskaņā ar saliktas funkcijas $g\bigl(f(x)\bigr)$ robežu

$$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g\bigl(f(x)\bigr)=g(y_0)=g\bigl(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)\bigr)\/.\;\blacktriangleleft$$

Sekas.

Ja funkcija $f$ nepārtraukta punktā $x_0$ un virkne $(x_n)\subset D(f)$ konverģē uz $x_0$, tad funkcijas vērtību virkne $\bigl(f(x_n)\bigr)$ konverģē uz $f(x_0)$.

$\blacktriangleright$ Tā kā virkne $(x_n)$ konverģē uz $x_0$, tad $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=x_0$. Tā kā funkcija $f$ nepārtraukta punktā $x_0$, tad $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$. Saskaņā ar 4.6. teorēmu

$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x_n)= f\left(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n\right)=f(x_0)\/.$$

Seko, ka virkne $\bigl(f(x_n)\bigr)$ konverģē uz $f(x_0)$. $\blacktriangleleft$

4.7. teorēma. 

Ja jebkurai uz $x_0\in D(f)$ konverģentai virknei
$(x_n)\subset D(f)$ atbilstošā virkne $\bigl(f(x_n)\bigr)$ konverģē uz $f(x_0)$, tad funkcija $f$ nepārtraukta punktā $x_0$.

Šo teorēmu viegli pierādīt no pretējā.

No 4.6. teorēmas sekām un 4.7. teorēmas izriet punktā nepārtrauktas funkcijas vēl viena definīcija (līdzvērtīga iepriekšējām).

4.4. definīcija. 

(Pēc Heines^4.1 jeb virkņu valodā).

Funkciju $f$ nosauksim par nepārtrauktu punktā $x_0\in D(f)$, ja jebkurai virknei $(x_n)\subset D(f)$, kas konverģē uz $x_0$, atbilstošā virkne $\bigl(f(x_n)\bigr)$ konverģē uz $f(x_0)$.

4.8. teorēma. 

(Par saliktas funkcijas nepārtrauktību)

Ja funkcija $f$ nepārtraukta punktā $x_0$ un $g(y)$ nepārtraukta atbilstošajā punktā $y_0$, kur $y_0=f(x_0)$, tad salikta funkcija $g\bigl(f(x)\bigr)$ nepārtraukta punktā $x_0$.

Pierāda, izmantojot 3.15. teorēmu par saliktas funkcijas robežu.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.3. Funkcijas vienpusējā nepārtrauktība Augstāk: 4. FUNKCIJAS NEPĀRTRAUKTĪBA Iepriekšējais: 4.1. Nepārtrauktas funkcijas jēdziens