nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.2. Nepārtrauktu funkciju pamatīpašības Augstāk: 4. FUNKCIJAS NEPĀRTRAUKTĪBA Iepriekšējais: 4. FUNKCIJAS NEPĀRTRAUKTĪBA

4.1. Nepārtrauktas funkcijas jēdziens


4.1. definīcija. 
Funkciju $ f$ nosauksim par nepārtrauktu punktā
$ x_0\in D(f)$, ja $ \lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f\left(\lim\limits_{x\rightarrow
x_0}x\right)$, citiem vārdiem,

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow
x_0}f(x)=f(x_0)\/.$

No funkcijas robežas definīcijas izriet, ka funkciju $ f$ nosauksim par nepārtrauktu punktā $ x_0\in D(f)$, ja jebkuram $ \varepsilon>0$ eksistē tāds $ \delta>0$, ka visiem $ x$, kuriem $ \vert x-x_0\vert<\delta$, izpildīsies nevienādība

$\displaystyle \vert f(x)-f(x_0)\vert<\varepsilon\/.$

Apzīmēsim $ x-x_0$ ar $ \Delta x$ un nosauksim par argumenta pieaugumu punktā $ x_0$, bet $ f(x)-f(x_0)$ ar $ \Delta f(x_0)$ un nosauksim par funkcijas pieaugumu punktā $ x_0$, kas atbilst argumenta pieaugumam $ \Delta x$. Šajos apzīmējumos punktā nepārtrauktas funkcijas definīcija būs šāda: funkciju $ f$ nosauksim par nepārtrauktu punktā $ x_0\in D(f)$, ja jebkuram $ \varepsilon>0$ eksistē tāds $ \delta>0$, ka visiem $ x$, kuriem $ \vert\Delta x\vert<\delta$, izpildīsies nevienādība $ \vert\Delta
f(x)\vert<\varepsilon$. Tas nozīmē, ka mazam argumenta pieaugumam atbilst mazs funkcijas pieaugums, t.i.,

$\displaystyle \boxed{\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta f(x_0)=0.}$

Praktiski šo vienādību visbiežāk pielieto funkciju pētīšanā uz nepārtrauktību.
4.2. definīcija. 
Funkciju $ f$ nosauksim par nepārtrauktu kopā
$ E\subset D(f)$, ja tā ir nepārtraukta šīs kopas katrā punktā.
4.3. definīcija. 
Funkciju, kas nepārtraukta savā definīcijas apgabalā, nosauksim par nepārtrauktu funkciju.

Turpmāk, lai pierādītu funkcijas nepārtrauktību, vajadzēs pierādīt tās nepārtrauktību definīcijas apgabala patvaļīgajā punktā $ x_0$.

Apskatīsim dažu nepārtrauktu funkciju piemērus.
  1. $ f(x)=k=\const$.

    Visiem $ x_0\in D(f)=\mathbb{R}$

    $\displaystyle \Delta f(x_0)=k-k=0\/,$

    tāpēc $ \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta f(x_0)=0$. Funkcija ir nepārtraukta sava definīcijas apgabala katrā punktā, tātad tā ir nepārtraukta funkcija.
  2. $ f(x)=x^2$.

    Patvaļīgam $ x_0$

    $\displaystyle \Delta f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=(x_0+\Delta x)^2-x_0^2=\Delta x(2x_0+\Delta
x)$

    un

    $\displaystyle \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta f(x_0)=
\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\bigl(\Delta x(2x_0+\Delta x)\bigr)=0\/.$

    Tātad $ f$ ir nepārtraukta funkcija.
  3. $ f(x)=\sin x$.

    Patvaļīgam $ x_0$

    $\displaystyle \Delta f(x_0)=\sin(x_0+\Delta x)-\sin x_0=
2\cos\frac{x_0+\Delta x}{2}\sin\frac{\Delta x}{2}\/.$

    Tā kā

    $\displaystyle \left\vert\cos\frac{x_0+\Delta x}{2}\right\vert\leq 1$

    un

    $\displaystyle \left\vert\sin\frac{\Delta x}{2}\right\vert\leq\frac{\vert\Delta x\vert}{2}\/,$

    tad

    $\displaystyle \left\vert\Delta f(x_0)\right\vert\leq 2\cdot 1\cdot\frac{\vert\Delta x\vert}{2}=\vert\Delta x\vert\/.$

    Seko, ka

    $\displaystyle \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta f(x_0)=0\/.$

    Tātad $ f(x)=\sin x$ ir nepārtraukta funkcija.


nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.2. Nepārtrauktu funkciju pamatīpašības Augstāk: 4. FUNKCIJAS NEPĀRTRAUKTĪBA Iepriekšējais: 4. FUNKCIJAS NEPĀRTRAUKTĪBA

2003-02-24