Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.2. Nepārtrauktu funkciju pamatīpašības Augstāk: 4. FUNKCIJAS NEPĀRTRAUKTĪBA Iepriekšējais: 4. FUNKCIJAS NEPĀRTRAUKTĪBA

4.1. Nepārtrauktas funkcijas jēdziens

4.1. definīcija. 

Funkciju $f$ nosauksim par nepārtrauktu punktā
$x_0\in D(f)$, ja $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f\left(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}x\right)$, citiem vārdiem,

$$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)\/.$$

No funkcijas robežas definīcijas izriet, ka funkciju $f$ nosauksim par nepārtrauktu punktā $x_0\in D(f)$, ja jebkuram $\varepsilon>0$ eksistē tāds $\delta>0$, ka visiem $x$, kuriem $\vert x-x_0\vert<\delta$, izpildīsies nevienādība

$$\vert f(x)-f(x_0)\vert<\varepsilon\/.$$

Apzīmēsim $x-x_0$ ar $\Delta x$ un nosauksim par argumenta pieaugumu punktā $x_0$, bet $f(x)-f(x_0)$ ar $\Delta f(x_0)$ un nosauksim par funkcijas pieaugumu punktā $x_0$, kas atbilst argumenta pieaugumam $\Delta x$. Šajos apzīmējumos punktā nepārtrauktas funkcijas definīcija būs šāda: funkciju $f$ nosauksim par nepārtrauktu punktā $x_0\in D(f)$, ja jebkuram $\varepsilon>0$ eksistē tāds $\delta>0$, ka visiem $x$, kuriem $\vert\Delta x\vert<\delta$, izpildīsies nevienādība $\vert\Delta f(x)\vert<\varepsilon$. Tas nozīmē, ka mazam argumenta pieaugumam atbilst mazs funkcijas pieaugums, t.i.,

$$\boxed{\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta f(x_0)=0.}$$

Praktiski šo vienādību visbiežāk pielieto funkciju pētīšanā uz nepārtrauktību.

4.2. definīcija. 

Funkciju $f$ nosauksim par nepārtrauktu kopā
$E\subset D(f)$, ja tā ir nepārtraukta šīs kopas katrā punktā.

4.3. definīcija. 

Funkciju, kas nepārtraukta savā definīcijas apgabalā, nosauksim par nepārtrauktu funkciju.

Turpmāk, lai pierādītu funkcijas nepārtrauktību, vajadzēs pierādīt tās nepārtrauktību definīcijas apgabala patvaļīgajā punktā $x_0$.

Apskatīsim dažu nepārtrauktu funkciju piemērus.

1. $f(x)=k=\const$.
   Visiem $x_0\in D(f)=\mathbb{R}$
   $$\Delta f(x_0)=k-k=0\/,$$
   tāpēc $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta f(x_0)=0$. Funkcija ir nepārtraukta sava definīcijas apgabala katrā punktā, tātad tā ir nepārtraukta funkcija.
2. $f(x)=x^2$.
   Patvaļīgam $x_0$
   $$\Delta f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=(x_0+\Delta x)^2-x_0^2=\Delta x(2x_0+\Delta x)$$
   un
   $$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta f(x_0)= \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\bigl(\Delta x(2x_0+\Delta x)\bigr)=0\/.$$
   Tātad $f$ ir nepārtraukta funkcija.
3. $f(x)=\sin x$.
   Patvaļīgam $x_0$
   $$\Delta f(x_0)=\sin(x_0+\Delta x)-\sin x_0= 2\cos\frac{x_0+\Delta x}{2}\sin\frac{\Delta x}{2}\/.$$
   Tā kā
   $$\left\vert\cos\frac{x_0+\Delta x}{2}\right\vert\leq 1$$
   un
   $$\left\vert\sin\frac{\Delta x}{2}\right\vert\leq\frac{\vert\Delta x\vert}{2}\/,$$
   tad
   $$\left\vert\Delta f(x_0)\right\vert\leq 2\cdot 1\cdot\frac{\vert\Delta x\vert}{2}=\vert\Delta x\vert\/.$$
   Seko, ka
   $$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta f(x_0)=0\/.$$
   Tātad $f(x)=\sin x$ ir nepārtraukta funkcija.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.2. Nepārtrauktu funkciju pamatīpašības Augstāk: 4. FUNKCIJAS NEPĀRTRAUKTĪBA Iepriekšējais: 4. FUNKCIJAS NEPĀRTRAUKTĪBA