Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.7. Teorēmas par nevienādībām Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.5. Teorēmas par funkcijas galīgajām robežām

3.6. Teorēma par saliktas funkcijas robežu

3.15. teorēma. 

Ja eksistē robežas $\lim\limits_{x\rightarrow a}\varphi(x)=b$, $\lim\limits_{u\rightarrow b}f(u)=B$ un salikta funkcija $f\bigl(\varphi(x)\bigr)$ definēta punkta $x=a$ pārdurtā apkārtnē, pie tam šajā apkārtnē $\varphi(x)\neq b$, tad punktā $x=a$ eksistē robeža saliktai funkcijai $f\bigl(\varphi(x)\bigr)$ un šī robeža ir $B$, t.i., $\lim\limits_{x\rightarrow a}f\bigl(\varphi(x)\bigr)=B$.

$\blacktriangleright$ Saskaņā ar funkcijas $f$ robežas $B$ definīciju punkta $B$ patvaļīgai apkārtnei eksistē punkta $u=b$ tāda apkārtne $\overset{\circ}U(b)$, ka visiem $u\in\overset{\circ}U(b)$ izpildīsies sakarība $f(u)\in U(B)$ (3.23. zīm.).

Saskaņā ar funkcijas $\varphi$ robežas $b$ definīciju punkta $b$ patvaļīgai apkārtnei, tai skaitā, arī iepriekš izvēlētajai apkārtnei $\overset{\circ}U(b)$ eksistē punkta $x=a$ tāda apkārtne $\overset{\circ}U(a)$, ka visiem $x\in\overset{\circ}U(a)$, izpildīsies sakarība $u(x)\in\overset{\circ}U(b)$ (3.23. zīm.). Apvienojot šos divus apgalvojumus vienā, var teikt, ka punkta $B$ patvaļīgai apkārtnei $U(B)$ eksistē punkta $x=a$ tāda apkārtne $\overset{\circ}U(a)$, ka visiem $x\in\overset{\circ}U(a)$, izpildīsies sakarība $f(u)=f\bigl(\varphi(x)\bigr)\in U(B)$, t.i., $\lim\limits_{x\rightarrow a}f\bigl(\varphi(x)\bigr)=B$. $\blacktriangleleft$

Piemēram,

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin kx}{x}= k\lim\limits_{kx\rightarrow 0}\frac{\sin kx}{kx}=k\cdot 1=k\;\;(k\in\mathbb{R})\/.$$

3.23. zīm.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.7. Teorēmas par nevienādībām Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.5. Teorēmas par funkcijas galīgajām robežām