Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.8. Funkcijas vienpusējās robežas Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.6. Teorēma par saliktas funkcijas robežu

3.7. Teorēmas par nevienādībām

3.16. teorēma. 

Ja funkcijām $f$ un $g$ punktā $x=a$ eksistē robežas, pie tam $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)<\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)$, tad eksistē punkta $x=a$ tāda apkārtne, kurā $f(x)<g(x)$.

$\blacktriangleright$ Apzīmēsim ar $A=\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)$ un $B=\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)$. Pēc dotā $A<B$. Izvēlēsimies šo punktu $A$ un $B$ tādas apkārtnes $U(A)$ un $U(B)$, kas nešķeļas, t.i., $U(A)\cap U(B)=\emptyset$ (3.24. zīm.). Saskaņā ar funkcijas $f$ robežas $A$ definīciju punkta $A$ patvaļīgai apkārtnei, tai skaitā, apkārtnei $U(A)$ eksistē punkta $x=a$ apkārtne $\overset{\circ}{U'}(a)$, ka visiem $x\in\overset{\circ}{U'}(a)$, izpildīsies sakarība $f(x)\in U(A)$. Līdzīgā veidā apkārtnei $U(B)$ eksistē apkārtne $\overset{\circ}{U''}(a)$, ka visiem $x\in\overset{\circ}{U''}(a)$, izpildīsies sakarība $g(x)\in U(B)$. Apzīmēsim ar

$$\overset{\circ}{U}(a)=\overset{\circ}{U'}(a)\cap\overset{\circ}{U''}(a)\/.$$

Tagad visiem $x\in\overset{\circ}{U}(a)$ vienlaicīgi $f(x)\in U(A)$ un $g(x)\in U(B)$ (3.24. zīm.). Tā kā $A<B$, tad visiem $x\in\overset{\circ}U(a)$, $f(x)<g(x)$. $\blacktriangleleft$

3.24. zīm.

Sekas.

Ja $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)<c$ (vai $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)>c$), tad eksistē punkta $x=a$ tāda apkārtne, kurā $f(x)<c$ (vai $f(x)>c$).

(Pierādīt patstāvīgi)

Apskatīsim gadījumu, kad $c=0$. Šoreiz, ja

$$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)<0\; ($$vai$$\; \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)>0\/),$$

tad eksistē punkta $x=a$ tāda apkārtne, kurā $f(x)<0$ (vai $f(x)>0$).

3.17. teorēma. 

Ja eksistē robežas $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)$ un $\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)$, pie tam
$f(x)<g(x)$ punkta $x=a$ kaut kādā apkārtnē, tad

$$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\leq\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)\/.$$

(Pierādīt patstāvīgi^3.8)

3.18. teorēma. 

Ja punktā $x=a$ funkcijām $f$ un $g$ eksistē vienādas robežas, t.i., $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)= \lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=A$ un punkta $x=a$ kaut kādā apkārtnē izpildās nevienādība $f(x)<h(x)<g(x)\/$, tad punktā $x=a$ funkcijai $h$ eksistē robeža, pie tam $\lim\limits_{x\rightarrow a}h(x)=A$.

$\blacktriangleright$ Saskaņā ar funkcijas $f$ robežas $A$ definīciju patvaļīgai punkta $A$ apkārtnei $U(A)$ eksistē punkta $x=a$ tāda apkārtne $\overset{\circ}{U'}(a)$, ka visiem $x\in\overset{\circ}{U'}(a)$, izpildīsies sakarība $f(x)\in U(A)$. Punkts $A$ ir par robežu arī funkcijai $g$, tāpēc apkārtnei $U(A)$ eksistē punkta $x=a$ tāda apkārtne $\overset{\circ}{U''}(a)$, ka visiem $x\in\overset{\circ}{U''}(a)$ izpildīsies sakarība $g(x)\in U(A)$. Pēc dotā visiem $x\in U'''(a)$ izpildīsies nevienādība $f(x)<h(x)<g(x)$. Apzīmēsim ar

$$\overset{\circ}{U}(a)=\overset{\circ}{U'}(a)\cap\overset{\circ}{U''}(a)\cap U'''(a)\/.$$

Tagad visiem $x\in\overset{\circ}{U}(a)$ izpildīsies vienlaicīgi $f(x)\in U(A)$ un $g(x)\in U(A)$. Tā kā $h(x)$ atrodas starp $f(x)$ un $g(x)$, tad visiem $x\in\overset{\circ}{U}(a)$ $h(x)\in U(A)$, t.i., $\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=A$ (3.25. zīm.). $\blacktriangleleft$

3.25. zīm.

Piemēram,

$$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$$

punkta $x=0$ apkārtnē un $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\cos x=\lim\limits_{x\rightarrow 0}1=1\/$. Tāpēc

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\/.$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.8. Funkcijas vienpusējās robežas Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.6. Teorēma par saliktas funkcijas robežu