Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.9. Bezgalīgi mazas un bezgalīgi lielas Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.7. Teorēmas par nevienādībām

3.8. Funkcijas vienpusējās robežas

3.7. definīcija. 

Punktu $A$ nosauksim par funkcijas $f$ robežu punktā $x=a$ ( $a\neq +\infty$) no labās puses, ja punkta $A$ patvaļīgai apkārtnei $U(A)$ eksistē punkta $x=a$ tāda apkārtne $U(a)$, ka visiem $x>a$ un $x\in U(a)$ izpildīsies sakarība $f(x)\in U(A)$(3.26. zīm.).

Apzīmēsim

$$\lim_{\substack{x\rightarrow a\\ x>a}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x)=f(a+0)\/.$$

Analoģiski var definēt funkcijas robežu punktā no kreisās puses. Šo robežu apzīmēsim

$$\lim_{\substack{x\rightarrow a\\ x<a}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a-0}f(x)=f(a-0)\/.$$

3.26. zīm.

Acīmredzami, ir spēkā šādi apgalvojumi:

1. Ja $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow a\\ x<a}}f(x)\neq\lim\limits_{\substack{x\rightarrow a\\ x>a}}f(x)$, tad $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)$ - neeksistē;
2. $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A$ tad un tikai tad, kad $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow a\\ x<a}}f(x)=\lim\limits_{\substack{x\rightarrow a\\ x>a}}f(x)=A$.

Piemēram, funkcijai

$$\sign x=\left\{\begin{array}{ccc} 1, & \text{ja} & x>0, \\ 0, & \text{ja} & x=0, \\ -1, & \text{ja} & x<0, \\ \end{array}\right.$$

(skat.^3.9) $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x<0}}f(x)=-1$, bet $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x>0}}f(x)=1$, tāpēc $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)$ - neeksistē (3.27. zīm.).

3.27. zīm.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.9. Bezgalīgi mazas un bezgalīgi lielas Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.7. Teorēmas par nevienādībām