Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.10. Monotonas virknes robeža Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.8. Funkcijas vienpusējās robežas

3.9. Bezgalīgi mazas un bezgalīgi lielas funkcijas

3.8. definīcija. 

Funkciju $f$ nosauksim par bezgalīgi mazu funkciju^3.10, kad $x$ tiecas uz $a$, ja $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=0$.

Piemēram, $f(x)=x$ ir bezgalīgi maza funkcija, kad $x$ tiecas uz nulli, jo $\lim\limits_{x\rightarrow 0}x=0$.

3.9. definīcija. 

Funkciju $f$ nosauksim par bezgalīgi lielu funkciju, kad $x$ tiecas uz $a$, ja $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)$ ir bezgalība.

Piemēram, $f(x)=\frac{1}{x}$ ir bezgalīgi liela funkcija, kad $x$ tiecas uz nulli.

3.19. teorēma. 

Ja $f$ ir bezgalīgi maza funkcija, kad $x$ tiecas uz $a$, tad $\frac{1}{f}$ - bezgalīgi liela funkcija, kad $x$ tiecas uz $a$.

$\blacktriangleright$ Tā kā $f$ ir bezgalīgi maza funkcija, kad $x$ tiecas uz $a$, tad

$$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=0\/.$$

Saskaņā ar robežas definīciju jebkuram $\varepsilon>0$ eksistē punkta $x=a$ tāda apkārtne $\overset{\circ}U(a)$, ka visiem $x\in\overset{\circ}U(a)$ izpildīsies nevienādība $\vert f(x)\vert<\varepsilon$. Seko, ka

$$\left\vert\frac{1}{f(x)}\right\vert>\frac{1}{\varepsilon}=M\/.$$

Tātad $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{1}{f(x)}$ ir bezgalība, t.i., $\frac{1}{f}$ - bezgalīgi liela funkcija, kad $x$ tiecas uz $a$. $\blacktriangleleft$

Acīmredzami, 3.19. teorēmai apgrieztais apgalvojums arī ir spēkā.

Apskatīsim divas bezgalīgi mazas funkcijas $\alpha$ un $\beta$, kad $x$ tiecas uz $a$. Apzīmēsim ar $c$ šo funkciju attiecības $\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}$ robežu punktā $a$, t.i.,

$$c=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}\/.$$

1. Ja $c=0$, tad $\alpha$ nosauksim par augstākas kārtas bezgalīgi mazu funkciju, salīdzinot ar $\beta$, kad $x$ tiecas uz $a$ un pierakstīsim $\alpha=o(\beta)$ (skat.^3.11).
2. Ja $c\neq 0$( $c\in\mathbb{R}$), tad $\alpha$, $\beta$ nosauksim par vienādas kārtas bezgalīgi mazām funkcijām, kad $x$ tiecas uz $a$.
3. Īpaši izdalīsim gadījumu, kad $c=1$, t.i.,
   $$\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1\/.$$
   Šoreiz $\alpha$ un $\beta$ nosauksim par ekvivalentām^3.12 bezgalīgi mazām funkcijām, kad $x$ tiecas uz $a$. Pierakstīsim $\alpha\sim\beta$ ( $x\rightarrow a$). Piemēram, $\sin x\sim x$ ( $x\rightarrow 0$), jo $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$.

3.20. teorēma. 

Ja $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=c$, $\alpha\sim\alpha_1$ ( $x\rightarrow a$) un $\beta\sim\beta_1$ ( $x\rightarrow a$), tad $\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{\alpha_1(x)}{\beta_1(x)}=c$.

Apgalvojums kļūst acīmredzams, ja $\frac{\alpha_1}{\beta_1}$ uzraksta šādi:

$$\frac{\alpha_1}{\beta_1}= \frac{\alpha_1}{\alpha}\cdot\frac{\alpha}{\beta}\cdot\frac{\beta}{\beta_1}\/.$$

3.20. teorēmu plaši pielieto robežu aprēķināšanā, t.i., funkcijas aizstāj ar tām ekvivalentām bezgalīgi mazām funkcijām, kad $x$ tiecas uz $a$.

3.10. definīcija. 

Funkciju $\alpha$ nosauksim par $k$ -tās kārtas bezgalīgi mazu funkciju, salīdzinot ar bezgalīgi mazu funkciju $\beta$, kad $x$ tiecas uz $a$, ja $\alpha$ un $\beta^k$ ($k$ - naturāls skaitlis) ir vienādas kārtas bezgalīgi mazas funkcijas, kad $x$ tiecas uz $a$.

Piemēram, funkcija $\alpha(x)=1-\cos 2x$ ir 2. kārtas bezgalīgi maza funkcija, kad $x\rightarrow 0$, salīdzinot ar funkciju $\beta(x)=x$, jo

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos 2x}{x^2}= \lim\limits_{x... ...x^2}= 2\left(\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}\right)^2=2\cdot1=2\/.$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.10. Monotonas virknes robeža Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.8. Funkcijas vienpusējās robežas