Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.11. Skaitlis e Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.9. Bezgalīgi mazas un bezgalīgi lielas

3.10. Monotonas virknes robeža

3.11. definīcija. 

Skaitļu virkni $(a_n)$ nosauksim par augošu (vai dilstošu), ja $a_n<a_{n+1}$ ( $a_n>a_{n+1}$), kur $n$ - naturāls skaitlis.

3.12. definīcija. 

Skaitļu virkni $(a_n)$ nosauksim par nedilstošu (vai neaugošu), ja $a_n\leq a_{n+1}$ (vai $a_n\geq a_{n+1}$), kur $n$ - naturāls skaitlis.

3.13. definīcija. 

Skaitļu virkni ($a_n$) nosauksim par ierobežotu no augšas (vai ierobežotu no apakšas), ja ir ierobežota no augšas (vai ierobežota no apakšas) tās vērtību kopa.

3.14. definīcija. 

Par skaitļu virknes ($a_n$) augšējo slieksni (vai apakšējo slieksni) nosauksim šīs virknes vērtību kopas augšējo slieksni (vai apakšējo slieksni).

Šos sliekšņus apzīmēsim $\alpha=\sup a_n$, $\beta=\inf a_n$.

3.21. teorēma. 

Katra augoša un ierobežota no augšas virkne ir konverģenta.

$\blacktriangleright$ Tā kā virkne ($a_n$) ir ierobežota no augšas, tad tai eksistē galīgs augšējais slieksnis $\alpha=\sup a_n$. Parādīsim, ka eksistē robeža $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$ un tā ir vienāda ar $\alpha$.

Saskaņā ar kopas augšējā sliekšņa $\alpha=\sup a_n$ definīciju var teikt, ka

1. $a_n\leq\alpha$ ($n$ - naturāls skaitlis);
2. jebkuram $\varepsilon>0$ eksistē tāds $a_N$, ka $a_N>\alpha-\varepsilon$.

Tā kā virkne ($a_n$) augoša, tad visiem tās numuriem $n>N$ izpildīsies nevienādība $a_n>\alpha-\varepsilon$.

Visiem numuriem $n$, tai skaitā arī $n>N$, izpildīsies nevienādība $a_n\leq\alpha$. Iegūsim, ka visiem $n>N$, izpildīsies divkārša nevienādība

$$\alpha-\varepsilon<a_n\leq\alpha\;\;$$vai$$\;\; \alpha-\varepsilon<a_n<\alpha+\varepsilon\/,$$

t.i., virkne ($a_n$) konverģenta un $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=\alpha$. $\blacktriangleleft$

Analoģiski pierāda, ka ir konverģenta katra dilstoša un ierobežota no apakšas virkne. Šoreiz

$$\beta=\inf a_n=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n\/.$$

Sekas.

Konverģentai un augošai virknei ($a_n$) izpildās nevienādība $a_n<\alpha$, kur $\alpha=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$ ($n$ - naturāls skaitlis).

$\blacktriangleright$ Saskaņā ar 3.21. teorēmu visiem numuriem $n$ $a_n\leq\alpha$. Ja pieņemtu, ka kādam numuram $N$ $a_N=\alpha$, tad $a_{N+1}>\alpha$, jo virkne augoša. Radās pretruna. $\blacktriangleleft$

Ilustrēsim šo teorēmu ar konkrētu piemēru. Apskatīsim virkni $a_n=\frac{2^n}{n!}$. Apskatīsim attiecību

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{2^n}{n!}}=\frac{2}{n+1}\leq 1\/,$$

tas nozīmē, ka virkne ir neaugoša un, acīmredzami, ierobežota no apakšas, piemēram, ar nulli. Tātad virkne ($a_n$) ir konverģenta. Tās robežu apzīmēsim ar $a=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$. Atradīsim šo robežu $a$.

$$a_{n+1}=\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}=a_n\frac{2}{n+1}\/.$$

Vienādībā

$$a_{n+1}=a_n\frac{2}{n+1}$$

pāriesim pie robežas, kad $n$ tiecas uz bezgalību. Iegūsim, ka $a=a\cdot 0$, t.i., $a=0$. Tātad

$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{2^n}{n!}=0\/.$$

Esam ne tikai pierādījuši virknes ($a_n$) konverģenci, bet arī izskaitļojuši tās robežu.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.11. Skaitlis e Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.9. Bezgalīgi mazas un bezgalīgi lielas