Matemātika
DU TSC
Nākamais: 3.12. Savelkošos slēgtu intervālu princips
Augstāk: 3. ROBEŽA
Iepriekšējais: 3.10. Monotonas virknes robeža
-
3.22. teorēma.
- Funkcijai
punktā
eksistē
galīga robeža, kuru apzīmē ar
.
Vispirms apskatīsim virkni
un parādīsim, ka tā konverģē. Apskatīsim attiecību
Saskaņā ar Bernulli nevienādību
tāpēc
Esam ieguvuši, ka
, t.i.,
.
Seko, ka virkne (
) ir dilstoša un, acīmredzami, ierobežota no
apakšas, piemēram, ar nulli. Virkne (
) konverģē; tās robežu
apzīmēsim ar
Saskaņā ar Bernulli nevienādību
Viegli izskaitļot un pārliecināties, ka
. Tā kā virkne
(
) ir dilstoša, tad visiem nākamajiem numuriem
.
Virknes robeža
atradīsies intervālā
, t.i.,
.
Tā kā skaitļa
veselā sastāvdaļa
apmierina nevienādību
tad, acīmredzami, izpildīsies arī nevienādība
Ja
tiecas uz
, tad
diskrēti3.13 tiecas uz
. Saskaņā
ar iepriekš apskatīto gadījumu robeža no nevienādības (*) labās
puses ir
, t.i.,
Parādīsim, ka robeža no nevienādības kreisās puses arī ir
,
Šīs vienādības labās puses
pirmajam loceklim robeža ir
, t.i.,
bet otrajam loceklim robeža ir viens, t.i.,
tāpēc
Saskaņā ar 3.18. teorēmu eksistē robeža
Parādīsim, ka funkcijai
punktā
eksistē robeža, kas arī ir skaitlis
.
Pārveidosim
Ja
tiecas uz
, tad
tiecas uz
. Robeža
šīs vienādības labajai pusei ir
. Tātad arī kreisajai
pusei robeža eksistē un ir vienāda ar
, t.i.,
Turpmāk rakstīsim
Viegli saskatīt, ka
Skaitļa
vērtība ar 26 zīmēm pēc komata ir
Matemātika
DU TSC
Nākamais: 3.12. Savelkošos slēgtu intervālu princips
Augstāk: 3. ROBEŽA
Iepriekšējais: 3.10. Monotonas virknes robeža
2003-02-24