Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.12. Savelkošos slēgtu intervālu princips Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.10. Monotonas virknes robeža

3.11. Skaitlis e

3.22. teorēma. 

Funkcijai

$$f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$$

punktā $x=+\infty$ eksistē galīga robeža, kuru apzīmē ar $e$.

$\blacktriangleright$ Vispirms apskatīsim virkni

$$a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$$

un parādīsim, ka tā konverģē. Apskatīsim attiecību

$$\begin{multline*} \frac{a_n}{a_{n+1}}= \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}}... ...t(1+\frac{1}{n(n+2)}\right)^{n+1}\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{n+1}}. \end{multline*}$$

Saskaņā ar Bernulli nevienādību

$$\left(1+\frac{1}{n(n+2)}\right)^{n+1}\geq 1+\frac{n+1}{n(n+2)}\/,$$

tāpēc

$$\begin{multline*} \frac{a_n}{a_{n+1}}\geq\left(1+\frac{n+1}{n(n+2)}\right)\frac... ...}=\\ =\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\frac{1}{1+\frac{1}{n+1}}=1. \end{multline*}$$

Esam ieguvuši, ka $\frac{a_n}{a_{n+1}}>1$, t.i., $a_n>a_{n+1}$. Seko, ka virkne ($a_n$) ir dilstoša un, acīmredzami, ierobežota no apakšas, piemēram, ar nulli. Virkne ($a_n$) konverģē; tās robežu apzīmēsim ar

$$e=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\/.$$

Saskaņā ar Bernulli nevienādību

$$a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\geq 1+\frac{n+1}{n}=2+\frac{1}{n}>2\/.$$

Viegli izskaitļot un pārliecināties, ka $a_7<3$. Tā kā virkne ($a_n$) ir dilstoša, tad visiem nākamajiem numuriem $n$ $a_n<3$. Virknes robeža $e$ atradīsies intervālā $(2;3)$, t.i., $2<e<3$.

Tā kā skaitļa $x$ veselā sastāvdaļa $[x]$ apmierina nevienādību

$$[x]\leq x<[x]+1\/,$$

tad, acīmredzami, izpildīsies arī nevienādība

$$\left(1+\frac{1}{[x]+1}\right)^{[x]}<\left(1+\frac{1}{x}\right)^x< \left(1+\frac{1}{[x]}\right)^{[x]+1}\/.\eqno{(*)}$$

Ja $x$ tiecas uz $+\infty$, tad $[x]$ diskrēti^3.13 tiecas uz $+\infty$. Saskaņā ar iepriekš apskatīto gadījumu robeža no nevienādības (*) labās puses ir $e$, t.i.,

$$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{[x]}\right)^{[x]+1}=e\/.$$

Parādīsim, ka robeža no nevienādības kreisās puses arī ir $e$,

$$\left(1+\frac{1}{[x]+1}\right)^{[x]}=\left(1+\frac{1}{[x]+1}\right)^{[x]+2}: \left(1+\frac{1}{[x]+1}\right)^2\/.$$

Šīs vienādības labās puses pirmajam loceklim robeža ir $e$, t.i.,

$$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{[x]+1}\right)^{[x]+2}=e\/,$$

bet otrajam loceklim robeža ir viens, t.i.,

$$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{[x]+1}\right)^{2}=1\/,$$

tāpēc

$$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{[x]+1}\right)^{[x]}=e:1=e\/.$$

Saskaņā ar 3.18. teorēmu eksistē robeža

$$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e\/.\;\blacktriangleleft$$

Parādīsim, ka funkcijai

$$f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$$

punktā $x=-\infty$ eksistē robeža, kas arī ir skaitlis $e$.

Pārveidosim

$$\begin{multline*} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\left(\frac{x+1}{x}\right)^x=\le... ...frac{1}{-x-1}\right)^{-x-1}\cdot \left(1+\frac{1}{-x-1}\right). \end{multline*}$$

Ja $x$ tiecas uz $-\infty$, tad $-x-1$ tiecas uz $+\infty$. Robeža šīs vienādības labajai pusei ir $e\cdot 1=e$. Tātad arī kreisajai pusei robeža eksistē un ir vienāda ar $e$, t.i.,

$$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e\/.$$

Turpmāk rakstīsim

$$\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e.}$$

Viegli saskatīt, ka

$$\boxed{\lim\limits_{\alpha\rightarrow 0}\left(1+\alpha\right)^{\frac{1}{\alpha}}=e.}$$

Skaitļa $e$ vērtība ar 26 zīmēm pēc komata ir

$$e=2,71828182845904523536028747\ldots.$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.12. Savelkošos slēgtu intervālu princips Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.10. Monotonas virknes robeža