Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.13. Bolcano-Veierštrāsa teorēma Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.11. Skaitlis e

3.12. Savelkošos slēgtu intervālu princips

3.15. definīcija. 

Slēgtu intervālu virkni $\bigl([a_n;b_n]\bigr)$ sauksim par savelkošos slēgtu intervālu virkni, ja

1. $[a_1;b_1]\supset[a_2;b_2]\supset\cdots\supset[a_n;b_n]\supset\cdots$;
2. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)=0$.

3.23. teorēma. 

Savelkošos slēgtu intervālu virknei $\bigl([a_n;b_n]\bigr)$ eksistē vienīgs kopīgs punkts.

$\blacktriangleright$ Izveidosim virkni $(a_n)$. Šī virkne, acīmredzami, ir nedilstoša un ierobežota no augšas, piemēram, ar $b_1$. Eksistē galīga robeža

$$\alpha=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=\sup a_n\/.$$

Otra virkne $(b_n)$ ir neaugoša un ierobežota no apakšas, tāpēc eksistē galīga robeža

$$\beta=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n=\inf b_n\/.$$

Tā kā $a_n\leq b_n$, tad

$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n\leq\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n\/,$$

t.i., $\alpha\leq\beta$. Saskaņā ar kopas sliekšņu definīcijām $a_n\leq\alpha$, $\beta\leq b_n$. Tāpēc izpildīsies nevienādība $a_n\leq\alpha\leq\beta\leq b_n$. No šīs nevienādības seko, ka $0\leq\beta-\alpha\leq b_n-a_n$. Robeža no šīs nevienādības kreisās un labās puses ir nulle, tāpēc arī robeža no konstantes $\beta-\alpha$ arī ir nulle, t.i.,

$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\beta-\alpha)=0\/.$$

Robeža no konstantes ir vienāda ar šo konstanti, tāpēc seko, ka $\alpha=\beta=c$. Esam ieguvuši nevienādību $a_n\leq c\leq b_n$, t.i., eksistē skaitlis $c$, kopīgs visiem slēgtajiem intervāliem $[a_n;b_n]$. Te arī tika pierādīts šāda kopīga skaitļa $c$ vienīgums. $\blacktriangleleft$

Vaļēju intervālu virknei šī teorēma nav spēkā, piemēram, virknei

$$(0;1), \left(0;\frac{1}{2}\right), \ldots, \left(0;\frac{1}{n}\right), \ldots$$

nav kopīgā punkta. Teorēma būs spēkā tikai tādai vaļēju intervālu virknei, kura katrs nākamais vaļējais intervāls stingri iekļaujas iepriekšējā, t.i.,

$$a_n<a_{n+1}<b_{n+1}<b_n$$

($n$ - naturāls skaitlis) un kurai

$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)=0\/.$$

Savelkošos slēgtu intervālu principu varētu ņemt par reālu skaitļu kopas nepārtrauktības aksiomu.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.13. Bolcano-Veierštrāsa teorēma Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.11. Skaitlis e