Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.14. Skaitļu virknes konverģences Košī kritērijs Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.12. Savelkošos slēgtu intervālu princips

3.13. Bolcano-Veierštrāsa teorēma

3.24. teorēma. 

[Bolcano ^3.14- Veierštrāsa^3.15 teorēma]

No jebkuras ierobežotas skaitļu virknes var izdalīt konverģentu apakšvirkni.

$\blacktriangleright$ Vispirms pierādīsim, ka no jebkuras skaitļu virknes $(a_n)$ var izdalīt monotonu apakšvirkni.

Apzīmēsim ar $E$ kopu, kas izveidota no tiem virknes $(a_n)$ locekļu numuriem, kuriem izpildās šāda prasība: ja $n<m$, tad $a_n>a_m$. Iespējami divi gadījumi:

1. $E$ - bezgalīga kopa. Kopas $E$ elementiem
   $$n_1<n_2<\cdots<n_k<\cdots$$
   atbilst dotās virknes dilstoša apakšvirkne $(a_{n_k})$, jo tās locekļi apmierina sakarību:
   $$a_{n_1}>a_{n_2}>\cdots>a_{n_k}>\cdots$$
   (skat. kopas $E$ konstrukciju).
2. $E$ - galīga kopa. Tātad patvaļīgam $n_1$ eksistē tāds numurs $m$, kur
   $n_1<m$, ka $a_{n_1}\leq a_m$. Vismazāko starp šādiem numuriem $m$ apzīmēsim ar $n_2$. Esam ieguvuši, ka $n_1<n_2$ un atbilstoši $a_{n_1}\leq a_{n_2}$. Ar $n_2$ rīkosimies tāpat kā ar $n_1$ un iegūsim, ka $n_2<n_3$ un atbilstoši $a_{n_2}\leq a_{n_3}$ utt. Bezgalīgi turpinot šo procesu, iegūsim dotās virknes nedilstošu apakšvirkni $\left(a_{n_k}\right)$.

Tātad abos iespējamos gadījumos no dotās virknes $(a_n)$ esam izdalījuši monotonu apakšvirkni $\left(a_{n_k}\right)$.

Dotā virkne ir ierobežota, tāpēc ir ierobežota arī tās apakšvirkne $\left(a_{n_k}\right)$. Zināms, ka katra ierobežota un monotona virkne ir konverģenta, tāpēc virkne $\left(a_{n_k}\right)$ konverģē. $\blacktriangleleft$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.14. Skaitļu virknes konverģences Košī kritērijs Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.12. Savelkošos slēgtu intervālu princips