Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.15. Jautājumi Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.13. Bolcano-Veierštrāsa teorēma

3.14. Skaitļu virknes konverģences Košī kritērijs

3.25. teorēma. 

[Košī^3.16 kritērijs]

Lai skaitļu virkne $(a_n)$ būtu konverģenta, nepieciešami un pietiekami, lai jebkuram $\varepsilon>0$ eksistē tāds naturāls skaitlis $N$ (atkarīgs no $\varepsilon$), ka visiem numuriem $n$, $m>N$ izpildās nevienādība

$$\left\vert a_n-a_m\right\vert<\varepsilon\/ \;(skat.\footnotemark ).$$

$\blacktriangleright$ Nepieciešamība. Tā kā virkne $(a_n)$ konverģē, tad eksistē galīga robeža $a=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$; saskaņā ar virknes $(a_n)$ robežas $a$ definīciju jebkuram $\varepsilon>0$ eksistē tāds naturāls skaitlis, ka visiem $n>N$ izpildīsies nevienādība

$$\left\vert a_n-a\right\vert<\frac{\varepsilon}{2}\/.$$

Izvēlēsimies vēl $m>N$. Šādiem $m$ izpildīsies nevienādība

$$\left\vert a_m-a\right\vert<\frac{\varepsilon}{2}\/.$$

Apskatīsim

$$\left\vert a_n-a_m\right\vert=\left\vert(a_n-a)+(a-a_m)\right\ver... ...rt+\vert a-a_m\vert< \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\/.$$

Tātad visiem $n,m>N$ izpildīsies nevienādība $\vert a_n-a_m\vert<\varepsilon$.

Pietiekamība. Dots, ka jebkuram $\varepsilon>0$ eksistē tāds naturāls skaitlis $N$, ka visiem $n,m>N$ izpildīsies nevienādība

$$\vert a_n-a_m\vert<\varepsilon\/.$$

Šī sakarība ir līdzvērtīga nevienādībai

$$a_m-\varepsilon<a_n<a_m+\varepsilon\/.$$

Ja $m$ - fiksēts, tad šī nevienādība norāda, ka virkne $(a_n)$ ierobežota. Saskaņā ar Bolcano-Veierštrāsa teorēmu no šīs virknes var izdalīt konverģentu apakšvirkni $\left(a_{n_k}\right)$. Apzīmēsim ar

$$a=\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\left(a_{n_k}\right)\;\;(a\in\mathbb{R})\/.$$

Skaitli $k$ paņemsim tik lielu, lai $n_k>N$. Tāpēc izpildīsies nevienādība

$$a_m-\varepsilon<a_{n_k}<a_m+\varepsilon\/.$$

Šajā nevienādībā pāriesim pie robežas, kad $k$ tiecas uz bezgalību. Iegūsim nevienādību

$$a_m-\varepsilon\leq a\leq a_m+\varepsilon$$

jeb

$$\vert a_m-a\vert\leq\varepsilon\/.$$

Tātad visiem $m>N$ izpildīsies nevienādība $\vert a_m-a\vert<\varepsilon_1$, kur $\varepsilon_1=2\varepsilon$ (arī ir pozitīvs skaitlis). Tas nozīmē, ka dotā virkne ir konverģenta. $\blacktriangleleft$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.15. Jautājumi Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.13. Bolcano-Veierštrāsa teorēma