Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.6. Teorēma par saliktas funkcijas robežu Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.4. Sinusa attiecības pret argumentu robeža

3.5. Teorēmas par funkcijas galīgajām robežām

Turpmāk vienosimies apskatīt tikai tādas funkcijas, kas definētas punkta $x=a$ apkārtnē, izņemot varbūt pašu šo punktu. Ar punkta $x=a$ apkārtni sapratīsim šī punkta pārdurto apkārtni.

3.5. teorēma. 

Ja eksistē galīga robeža $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A$ $(a\in\mathbb{R})$, tad $f$ ierobežota funkcija punkta $x=a$ apkārtnē.

$\blacktriangleright$ Saskaņā ar galīgas robežas definīciju jebkuram $\varepsilon>0$, tai skaitā $\varepsilon=1$, eksistē punkta $x=a$ tāda apkārtne $\overset{\circ}U(a)$, ka visiem $x\in\overset{\circ}U(a)$, izpildīsies nevienādība

$$\vert f(x)-A\vert<1\/,$$

t.i.,

$$A-1<f(x)<A+1\/.$$

Tas nozīmē, ka funkcija $f$ ierobežota punkta $x=a$ apkārtnē $\overset{\circ}U(a)$. $\blacktriangleleft$

Teorēmai apgrieztais apgalvojums nav spēkā, piemēram, Dirihlē funkcija

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ccl} 0, & \text{ja} & x~- \text{iracion... ...s,} \\ 1, & \text{ja} & x~- \text{racionāls skaitlis} \\ \end{array}\right.$$

ir ierobežota punkta $x=0$ apkārtnē, bet $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)$ neeksistē.

3.6. teorēma. 

Ja funkcija $f$ ir konstanta punkta $x=a$ apkārtnē, t.i., visiem $x\in U(a)$, $f(x)=k=$const, tad $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=k$.

$\blacktriangleright$ Jebkuram $\varepsilon>0$ un katram $x$ no minētās apkārtnes izpildīsies nevienādība $\vert f(x)-k\vert=0<\varepsilon$. Tātad $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=k$. $\blacktriangleleft$

3.7. teorēma. 

Ja funkcijai $f$ eksistē galīga robeža $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A$, tad eksistē arī robeža šīs funkcijas modulim $\vert f\vert$, pie tam

$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\vert f(x)\vert=\vert A\vert\/.$$

$\blacktriangleright$ Saskaņā ar funkcijas $f$ robežas $A$ definīciju jebkuram $\varepsilon>0$ eksistē punkta $x=a$ tāda apkārtne $\overset{\circ}U(a)$, ka visiem $x\in\overset{\circ}U(a)$ izpildīsies nevienādība

$$\vert f(x)-A\vert<\varepsilon\/.$$

Saskaņā ar moduļa īpašību

$$\bigl\vert\vert f(x)\vert-\vert A\vert\bigr\vert\leq\vert f(x)-A\vert\/,$$

tāpēc

$$\bigl\vert\vert f(x)\vert-\vert A\vert\bigr\vert<\varepsilon\/;$$

tas nozīmē, ka

$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\vert f(a)\vert=\vert A\vert\/.\;\;\blacktriangleleft$$

3.8. teorēma. 

Ja $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A$ $(a\in\mathbb{R})$, tad

$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(f(x)-A\bigr)=0\/.$$

(Pierādīt patstāvīgi)

3.9. teorēma. 

Ja eksistē galīgas robežas

$$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A_1\quad\text{un}\quad\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=A_2\/,$$

tad eksistē galīga robeža arī šo funkciju summai, pie tam

$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=A_1+A_2\/.$$

$\blacktriangleright$ Saskaņā ar funkcijas $f$ robežas $A_1$ definīciju jebkuram $\varepsilon>0$ eksistē tāda punkta $x=a$ apkārtne $\overset{\circ}{U'}(a)$, ka visiem $x\in\overset{\circ}{U'}(a)$ izpildīsies nevienādība

$$\vert f(x)-A_1\vert<\frac{\varepsilon}{2}\/.$$

Tādā pat veidā funkcijai $g$, tam pašam $\varepsilon>0$ eksistē apkārtne $\overset{\circ}{U''}(a)$, ka visiem $x\in\overset{\circ}{U''}(a)$ izpildīsies nevienādība

$$\vert g(x)-A_2\vert<\frac{\varepsilon}{2}\/.$$

Apzīmēsim ar $\overset{\circ}U(a)=\overset{\circ}{U'}(a)\cap\overset{\circ}{U''}(a)$. Tagad visiem $x\in\overset{\circ}{U}(a)$ šīs divas nevienādības izpildīsies vienlaicīgi.

Tāpēc

$$\left\vert\bigl(f(x)+g(x)\bigr)-(A_1+A_2)\right\vert\leq\left\ver... ... g(x)-A_2\right\vert<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\/.$$

Tas nozīmē, ka

$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=A_1+A_2\/.\;\;\blacktriangleleft$$

Ar matemātiskās indukcijas metodi šo teorēmu var vispārināt uz jebkura galīga skaita funkciju summu.

3.9. teorēmai apgrieztais apgalvojums nav pareizs, piemēram, funkcijām $f(x)=1-\sin\frac{1}{x}$, $g(x)=\sin\frac{1}{x}$ neeksistē robežas, kad $x\rightarrow 0$, bet to summa ir konstanta un tās robeža ir viens.

3.10. teorēma. 

Ja eksistē galīga robeža $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A$, tad eksistē galīga robeža šīs funkcijas reizinājumam ar konstanti $k$, pie tam

$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(kf(x)\bigr)=kA\/.$$

$\blacktriangleright$ Gadījumā, kad $k=0$, funkcija $kf=0=$const. Robeža eksistē un, acīmredzami, izpildās teorēmā minētā vienādība.

Apskatīsim gadījumu, kad $k\neq 0$. Saskaņā ar funkcijas $f$ robežas $A$ definīciju jebkuram $\varepsilon>0$ eksistē punkta $x=a$ tāda apkārtne $\overset{\circ}U(a)$, ka visiem $x\in\overset{\circ}U(a)$ izpildīsies nevienādība

$$\vert f(x)-A\vert<\frac{\varepsilon}{\vert k\vert}\/.$$

Tātad

$$\vert kf(x)-kA\vert<\varepsilon\/,$$

tas nozīmē, ka

$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(kf(x)\bigr)=kA\/.\;\;\blacktriangleleft$$

Ja $k=-1$, iegūsim:

$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(-f(x)\bigr)=-\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\/.$$

Izmantojot vēl 3.9. teorēmu, iegūsim:

$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)= \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)-\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)\/.$$

Apvienojot 3.9. un 3.10. teorēmu apgalvojumus, var teikt, ka robeža no divu funkciju lineārās kombinācijas ir vienāda ar to robežu lineāro kombināciju, t.i.,

$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(k_1f(x)+k_2g(x)\bigr)= k_1\lim\... ...htarrow a}f(x)+k_2\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)\;\;(k_1,k_2\in\mathbb{R})\/.$$

3.11. teorēma. 

Ja funkcija $f$ definēta un ierobežota punkta $x=a$ kaut kādā apkārtnē un funkcijai $g$ eksistē robeža $\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=0$, tad eksistē robeža šo funkciju reizinājumam, pie tam

$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(f(x)g(x)\bigr)=0\/.$$

$\blacktriangleright$ Tā kā funkcija $f$ ierobežota punkta $x=a$ apkārtnē $U'(a)$, tad visiem $x\in U'(a)$, izpildīsies nevienādība $\vert f(x)\vert<M\;\;(M>0)$. Saskaņā ar funkcijas $g$ robežas definīciju jebkuram $\varepsilon>0$ eksistē punkta $x=a$ tāda apkārtne $\overset{\circ}{U''}(a)$, ka visiem $x\in\overset{\circ}{U''}(a)$ izpildīsies nevienādība $\vert g(x)\vert<\frac{\varepsilon}{M}$. Apzīmēsim ar $\overset{\circ}U(a)=U'(a)\cap\overset{\circ}{U''}(a)$. Tagad visiem $x\in\overset{\circ}U(a)$ abas nevienādības izpildīsies vienlaicīgi, tāpēc

$$\vert f(x)\cdot g(x)\vert<M\frac{\varepsilon}{M}=\varepsilon$$

un

$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(f(x)g(x)\bigr)=0\/.\;\;\blacktriangleleft$$

3.12. teorēma. 

Ja eksistē galīgas robežas $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A_1$ un
$\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=A_2$, tad eksistē galīga robeža šo funkciju reizinājumam, pie tam

$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(f(x)g(x)\bigr)=A_1A_2\/.$$

$\blacktriangleright$ Funkciju $f$ un $g$ reizinājumu uzrakstīsim šādi:

$$f\cdot g=(f-A_1)g+A_1g\/.$$

Tā kā $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A_1$, tad saskaņā ar 3.8. teorēmu $\lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(f(x)-A_1\bigr)=0$, bet funkcija $g(x)$ - ierobežota, jo tai eksistē galīga robeža (skat. 3.5. teorēmu). Saskaņā ar 3.11. teorēmu

$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\left(\bigl(f(x)-A_1\bigr)g(x)\right)=0\/.$$

Tā kā $A_1=$const, tad saskaņā ar 3.10. teorēmu

$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(A_1g(x)\bigr)= A_1\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=A_1A_2\/.$$

Visbeidzot, saskaņā ar 3.9. teorēmu,

$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(f(x)g(x)\bigr)= \lim\limits_{x\... ...m\limits_{x\rightarrow a}\bigl(A_1g(x)\bigr)=0+A_1A_2=A_1A_2.\blacktriangleleft$$

Ar matemātiskās indukcijas metodi šo teorēmu var vispārināt uz jebkura galīga skaita funkciju reizinājumu, tai skaitā

$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\bigl(f(x)\bigr)^n= \bigl(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\bigr)^n\;\;(n~-$$   naturāls skaitlis$$)\/.$$

3.12. teorēmai apgrieztais apgalvojums nav spēkā.

3.13. teorēma. 

Ja eksistē galīga un no nulles atšķirīga robeža
$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A$ $(A\neq 0)$, tad eksistē galīga robeža funkcijai $\frac{1}{f}$, pie tam

$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{A}\/.$$

$\blacktriangleright$ Saskaņā ar 3.7. teorēmu $\lim\limits_{x\rightarrow a}\vert f(x)\vert=\vert A\vert$. Izvēlēsimies punkta $\vert A\vert\neq 0$ tādu apkārtni, kas nesatur punktu 0, t.i., $\left(\vert A\vert-\varepsilon; \vert A\vert+\varepsilon\right)$, kur, piemēram, $\varepsilon=\frac{\vert A\vert}{2}$. Saskaņā ar funkcijas $\vert f\vert$ robežas $\vert A\vert$ definīciju izvēlētajai punkta $\vert A\vert$ apkārtnei eksistē punkta $x=a$ tāda apkārtne $\overset{\circ}{U}(a)$, ka visiem $x\in\overset{\circ}{U}(a)$, izpildīsies nevienādība

$$0<\vert A\vert-\varepsilon<\bigl\vert f(x)\bigr\vert<\vert A\vert+\varepsilon\/.$$

Šajā apkārtnē $\bigl\vert f(x)\bigr\vert\neq 0$ un funkcija $\frac{1}{f}$ būs definēta visos funkcijas $f$ definīcijas apgabala punktos. No šīs nevienādības iegūsim

$$\frac{1}{\vert A\vert+\varepsilon}<\left\vert\frac{1}{f(x)}\right\vert<\frac{1}{\vert A\vert-\varepsilon}\/.$$

Šī nevienādība norāda, ka funkcija $\frac{1}{f}$ - ierobežota punkta $x=a$ apkārtnē. Funkciju $\frac{1}{f}$ uzrakstīsim šādi

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{A}-\frac{1}{A}\cdot\frac{1}{f}(f-A)\/.$$

Analoģiski kā 3.12. teorēmas pierādījumā iegūsim:

$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{A}\/.\;\;\blacktriangleleft$$

Piemēram,

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sin x}=1,\;$$jo$$\; \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\;$$un$$\; \frac{x}{\sin x}=\frac{1}{\frac{\sin x}{x}}\/.$$

3.14. teorēma. 

Ja eksistē galīgas robežas $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A_1$ un
$\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=A_2$, pie tam $A_2\neq 0$, tad eksistē galīga robeža funkcijai $\frac{f}{g}$, pie tam

$$\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A_1}{A_2}\/.$$

(Pierādīt patstāvīgi, izmantojot 3.13. un 3.12. teorēmas, pie tam
$\frac{f}{g}=f\frac{1}{g}$).

Ja $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=0$, tad par šo funkciju attiecības robežu vēl neko nevar pateikt. Tā ir viena no nenoteiktībām $\frac{0}{0}$, kas ir jāpēta īpaši.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.6. Teorēma par saliktas funkcijas robežu Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.4. Sinusa attiecības pret argumentu robeža