Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.5. Teorēmas par funkcijas galīgajām robežām Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.3. Funkcijas robežas vienīgums

3.4. Sinusa attiecības pret argumentu robeža

3.4. teorēma. 

Sinusa attiecības pret argumentu robeža, kad arguments tiecas uz nulli, ir vienāda ar $1$, t.i.,

$$\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\/.}$$

$\blacktriangleright$ Apskatīsim vienības riņķa līniju un izveidosim divus taisnleņķa trijstūrus $BDO$ un $CAO$ (3.22. zīm.) ar kopējo šauro leņķi $x$ radiāni^3.7
$\left(x\in\left(-\frac{\pi}{2};0\right)\cup\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\right)$.

3.22. zīm.

Loka $AB$ garums būs $\vert x\vert$, $BD=\vert\sin x\vert$, $AC=\vert\tg x\vert$. Salīdzinot trijstūra $OBA$, sektora $OBA$ un trijstūra $COA$ laukumus, iegūsim nevienādību

$$\frac{OA\cdot BD}{2}<\frac{OA^2\cdot\vert x\vert}{2}<\frac{OA\cdot AC}{2}$$

jeb

$$\vert\sin x\vert<\vert x\vert<\vert\tg x\vert\;\;(OA=1)\/.$$

Izdalīsim šo nevienādību ar $\vert\sin x\vert\neq 0$. Iegūsim nevienādību

$$1<\left\vert\frac{x}{\sin x}\right\vert<\frac{1}{\vert\cos x\vert}\/.$$

Minētajām argumenta $x$ vērtībām $\frac{x}{\sin x}>0$ un $\cos x>0$, tāpēc

$$1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}\/.$$

Tādējādi

$$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1\/.$$

No šīs nevienādības izriet, ka

$$0<1-\frac{\sin x}{x}<1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}<\frac{x^2}{2}\/.$$

(Izmantojām, ka $\vert\sin x\vert<\vert x\vert$, tādējādi $\sin^2x<x^2$). Esam ieguvuši, ka

$$0<1-\frac{\sin x}{x}<\frac{x^2}{2}\/.$$

Izvēlēsimies $\varepsilon>0$ un $\delta=\min\left(\frac{\pi}{2};\sqrt{2\varepsilon}\right)$.
Visiem $0<\vert x\vert<\delta$ izpildīsies

$$\left\vert 1-\frac{\sin x}{x}\right\vert<\frac{x^2}{2}<\frac{(\sqrt{2\varepsilon})^2}{2}=\varepsilon\/.$$

Saskaņā ar funkcijas robežas definīciju $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$. (Acīmredzami, funkcija $\frac{\sin x}{x}$ ir definēta punkta $x=0$ pārdurtā apkārtnē.) $\blacktriangleleft$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.5. Teorēmas par funkcijas galīgajām robežām Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.3. Funkcijas robežas vienīgums