Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.4. Sinusa attiecības pret argumentu robeža Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.2. Reālā mainīgā reālās funkcijas robeža

3.3. Funkcijas robežas vienīgums

3.3. teorēma. 

Ja funkcijai $f$ punktā $a$ eksistē robeža, tad vienīgā veidā.

$\blacktriangleright$ Pieņemsim pretējo, t.i., ka $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A_1$ un $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A_2$, kur $A_1\neq A_2$ (izņemot gadījumu, kad viena no tām ir bezgalība, bet otra - bezgalība ar zīmi). Izvēlēsimies punktu $A_1$ un $A_2$ apkārtnes $U(A_1)$ un $U(A_2)$, kas nešķeļas, t.i., tādas, lai $U(A_1)\cap U(A_2)=\emptyset$. Saskaņā ar funkcijas robežas definīciju punkta $A_1$ jebkurai apkārtnei $U(A_1)$ eksistē punkta $a$ tāda apkārtne $\overset{\circ}{U'}(a)$, ka visiem $x\in\overset{\circ}{U'}(a)$, izpildīsies sakarība $f(x)\in U(A_1)$. Analoģiski punkta $A_2$ jebkurai apkārtnei $U(A_2)$ eksistē punkta $a$ tāda apkārtne $\overset{\circ}{U''}(a)$, ka visiem $x\in\overset{\circ}{U''}(a)$, izpildīsies sakarība $f(x)\in U(A_2)$. Izvēlēsimies $x\in\overset{\circ}U(a)$, kur $\overset{\circ}U(a)=\overset{\circ}{U'}(a)\cap\overset{\circ}{U''}(a)$. Šādiem $x$ vienlaicīgi izpildīsies sakarības $f(x)\in U(A_1)$ un $f(x)\in U(A_2)$, kas ir pretrunā ar pieņēmumu, ka šīs apkārtnes nešķeļas (3.21. zīm.).

3.21. zīm.

Pieņēmums, ka funkcijai $f$ var būt divas dažādas robežas, nav pareizs.  $\blacktriangleleft$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.4. Sinusa attiecības pret argumentu robeža Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.2. Reālā mainīgā reālās funkcijas robeža