nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.3. Funkcijas robežas vienīgums Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.1.3. Skaitļu virkņu bezgalīgas robežas

3.2. Reālā mainīgā reālās funkcijas robeža


Apskatīsim funkciju $ f$, definētu punkta $ a$ apkārtnē, izņemot varbūt šo punktu.

3.5. definīcija. 
Par punkta $ a$ pārdurtu apkārtni nosauksim šī punkta apkārtni bez punkta $ a$ un apzīmēsim ar $ \overset{\circ}{U}(a)$.
3.6. definīcija. 
(Funkcijas robežas vispārīgā definīcija).

Punktu $ A$ nosauksim par funkcijas $ f$ robežu punktā $ a$, ja punkta $ A$ jebkurai apkārtnei $ U(A)$ eksistē punkta $ a$ tāda pārdurta apkārtne $ \overset{\circ}{U}(a)$, ka visiem $ x\in\overset{\circ}{U}(a)$ izpildās sakarība $ f(x)\in U(A)$ (3.3. zīm.). Pierakstīsim

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A$   vai$\displaystyle \quad f(x)\xrightarrow[x\rightarrow a]{\;}A\/.$

\includegraphics[height=4.5cm]{ievgraf26.eps}

3.3. zīm.

Nosacījums, ka $ x\neq a$, ir būtisks. Pretējā gadījumā funkcijai

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
1, & \text{ja} & x\neq 0, \\
0, & \text{ja} & x=0, \\
\end{array}\right.$

punktā $ x=0$ neeksistētu robeža. Tagad $ \lim\limits_{x\rightarrow
0}f(x)=1$. (3.4. zīm.)

\includegraphics[height=5.5cm]{ievgraf27.eps}

3.4. zīm.

Apskatīsim funkcijas robežas vispārīgās definīcijas atsevišķus gadījumus.

  1. $ a,A\in\mathbb{R}$.

    Šoreiz par punkta apkārtni būs vaļējs intervāls ar centru šajā punktā un atbilstošu rādiusu. Apkārtnes varēs uzdot ar apkārtņu rādiusu $ \varepsilon$ un $ \delta$ palīdzību.

    Skaitli $ A$ nosauksim par funkcijas $ f$ robežu punktā $ a$ ($ a$ - skaitlis), ja jebkuram $ \varepsilon>0$ eksistē tāds $ \delta>0$ (atkarīgs no $ \varepsilon$), ka visiem $ x$, kuriem $ 0<\vert x-a\vert<\delta$, izpildās nevienādība

    $\displaystyle \vert f(x)-A\vert<\varepsilon\/.$

    No ģeometriskā viedokļa tas nozīmē, lai cik šaura arī nebūtu horizontālā josla starp taisnēm $ y=A-\varepsilon$ un $ y=A+\varepsilon$, funkcijas grafiks (izņemot varbūt punktu $ \bigl(a;f(a)\bigr)$) visiem $ x\in (a-\delta;
a+\delta)$ atrodas šajā joslā (3.5. zīm.).
  2. $ a=+\infty,\;\;A\in\mathbb{R}$.

    Šoreiz punkta $ a=+\infty$ apkārtni varēs uzdot ar apkārtnes rādiusa
    $ N>0$ palīdzību. Par punkta $ a=+\infty$ $ N$-apkārtni būs vaļējs intervāls $ (N;+\infty)$.

    Skaitli $ A$ nosauksim par funkcijas $ f$ robežu punktā $ a=+\infty$, ja jebkuram $ \varepsilon>0$ eksistē tāds $ N>0$, ka visiem $ x$, kuriem $ x>N$, izpildās nevienādība

    $\displaystyle \vert f(x)-A\vert<\varepsilon\/.$

    No ģeometriskā viedokļa tas nozīmē, lai cik šaura arī nebūtu horizontālā josla starp taisnēm $ y=A-\varepsilon$ un $ y=A+\varepsilon$, funkcijas grafiks visiem $ x>N$ atrodas šajā joslā (3.6. zīm.).
  3. $ a=-\infty,\;\;A\in\mathbb{R}$.

    Skaitli $ A$ nosauksim par funkcijas $ f$ robežu punktā $ a=-\infty$, ja jebkuram $ \varepsilon>0$ eksistē tāds $ N>0$, ka visiem $ x$, kuriem $ x<-N$, izpildās nevienādība

    $\displaystyle \vert f(x)-A\vert<\varepsilon$   (3.7. zīm.)$\displaystyle \/.$

  4. $ a\in\mathbb{R},\;\;A=+\infty$   (3.8. zīm.).
  5. $ a\in\mathbb{R},\;\;A=-\infty$   (3.9. zīm.).
  6. $ a=+\infty,\;\;A=+\infty$   (3.10. zīm.).
  7. $ a=+\infty,\;\;A=-\infty$   (3.11. zīm.).
  8. $ a=-\infty,\;\;A=+\infty$   (3.12. zīm.).
  9. $ a=-\infty,\;\;A=-\infty$.

    Simbolu $ -\infty$ nosauksim par funkcijas $ f$ robežu punktā $ a=-\infty$, ja jebkuram $ M>0$ eksistē tāds $ N>0$, ka visiem $ x$, kuriem $ x<-N$, izpildās nevienādība $ f(x)<-M$.

    No ģeometriskā viedokļa tas nozīmē: lai cik liels arī nebūtu skaitlis $ M$ visiem $ x<-N$ funkcijas grafiks $ a$ rodas zem taisnes $ y=-M$ (3.13. zīm.).
  10. $ a\in\mathbb{R},\;\;A=\infty$ (bez zīmes3.6) (3.14. zīm.).
  11. $ a=+\infty,\;\;A=\infty$.

    Simbolu $ \infty$ nosauksim par funkcijas $ f$ robežu punktā $ a=+\infty$, ja jebkuram $ M>0$ eksistē tāds $ N>0$, ka visiem $ x>N$ izpildās nevienādība $ \vert f(x)\vert>M$, t.i., $ f(x)>M$ vai $ f(x)<-M$.

    Piemēram, funkcijai

    $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
e^x, & \text{ja} & x~- \text{racio...
...\
-e^x, & \text{ja} & x~- \text{iracionāls skaitlis,} \\
\end{array}\right.$

    $ \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\infty$.

    No ģeometriskā viedokļa tas nozīmē, lai cik liels arī nebūtu skaitlis $ M$, visiem $ x>N$ funkcijas grafiks atrodas virs taisnes $ y=M$ vai zem taisnes $ y=-M$ (3.15. zīm.).
  12. $ a=-\infty,\;\;A=\infty\;\;$3.16. zīm.
  13. $ a=\infty,\;\;A\in\mathbb{R}$.

    Skaitli $ A$ nosauksim par funkcijas $ f$ robežu punktā $ a=\infty$, ja jebkuram $ \varepsilon>0$ eksistē tāds $ N>0$, ka visiem $ x$, kuriem $ \vert x\vert>N$, izpildās nevienādība $ \vert f(x)-A\vert<\varepsilon$.

    No ģeometriskā viedokļa tas nozīmē, lai cik šaura arī nebūtu horizontālā josla starp taisnēm $ y=A-\varepsilon$, $ y=A+\varepsilon$, funkcijas grafiks visiem $ x>N$ vai $ x<-N$ atradīsies šajā joslā (3.17. zīm.).
  14. $ a=\infty,\;\;A=+\infty\;\;$(3.18. zīm.).
  15. $ a=\infty,\;\;A=-\infty\;\;$(3.19. zīm.).
  16. $ a=\infty,\;\;A=\infty\;\;$(3.20. zīm.).

\includegraphics[height=7cm]{ievgraf28.eps}

3.5. zīm.



\includegraphics[height=7cm]{ievgraf29.eps}

3.6. zīm.

\includegraphics[height=7cm]{ievgraf30.eps}

3.7. zīm.



\includegraphics[height=7cm]{ievgraf31.eps}

3.8. zīm.

\includegraphics[height=7.5cm]{ievgraf32.eps}

3.9. zīm.



\includegraphics[height=6cm]{ievgraf33.eps}

3.10. zīm.

\includegraphics[height=7.5cm]{ievgraf34.eps}

3.11. zīm.



\includegraphics[height=7cm]{ievgraf35.eps}

3.12. zīm.

\includegraphics[height=7.5cm]{ievgraf36.eps}

3.13. zīm.



\includegraphics[height=8cm]{ievgraf37.eps}

3.14. zīm.

\includegraphics[height=7.5cm]{ievgraf38.eps}

3.15. zīm.



\includegraphics[height=7.5cm]{ievgraf39.eps}

3.16. zīm.

\includegraphics[height=7.5cm]{ievgraf40.eps}

3.17. zīm.



\includegraphics[height=7cm]{ievgraf41.eps}

3.18. zīm.

\includegraphics[height=7cm]{ievgraf42.eps}

3.19. zīm.



\includegraphics[height=7.5cm]{ievgraf43.eps}

3.20. zīm.


nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.3. Funkcijas robežas vienīgums Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.1.3. Skaitļu virkņu bezgalīgas robežas

2003-02-24