Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.3. Funkcijas robežas vienīgums Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.1.3. Skaitļu virkņu bezgalīgas robežas

3.2. Reālā mainīgā reālās funkcijas robeža

Apskatīsim funkciju $f$, definētu punkta $a$ apkārtnē, izņemot varbūt šo punktu.

3.5. definīcija. 

Par punkta $a$ pārdurtu apkārtni nosauksim šī punkta apkārtni bez punkta $a$ un apzīmēsim ar $\overset{\circ}{U}(a)$.

3.6. definīcija. 

(Funkcijas robežas vispārīgā definīcija).

Punktu $A$ nosauksim par funkcijas $f$ robežu punktā $a$, ja punkta $A$ jebkurai apkārtnei $U(A)$ eksistē punkta $a$ tāda pārdurta apkārtne $\overset{\circ}{U}(a)$, ka visiem $x\in\overset{\circ}{U}(a)$ izpildās sakarība $f(x)\in U(A)$ (3.3. zīm.). Pierakstīsim

$$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A$$   vai$$\quad f(x)\xrightarrow[x\rightarrow a]{\;}A\/.$$

3.3. zīm.

Nosacījums, ka $x\neq a$, ir būtisks. Pretējā gadījumā funkcijai

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 1, & \text{ja} & x\neq 0, \\ 0, & \text{ja} & x=0, \\ \end{array}\right.$$

punktā $x=0$ neeksistētu robeža. Tagad $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=1$. (3.4. zīm.)

3.4. zīm.

Apskatīsim funkcijas robežas vispārīgās definīcijas atsevišķus gadījumus.

1. $a,A\in\mathbb{R}$.
   Šoreiz par punkta apkārtni būs vaļējs intervāls ar centru šajā punktā un atbilstošu rādiusu. Apkārtnes varēs uzdot ar apkārtņu rādiusu $\varepsilon$ un $\delta$ palīdzību.
   Skaitli $A$ nosauksim par funkcijas $f$ robežu punktā $a$ ($a$ - skaitlis), ja jebkuram $\varepsilon>0$ eksistē tāds $\delta>0$ (atkarīgs no $\varepsilon$), ka visiem $x$, kuriem $0<\vert x-a\vert<\delta$, izpildās nevienādība
   $$\vert f(x)-A\vert<\varepsilon\/.$$
   No ģeometriskā viedokļa tas nozīmē, lai cik šaura arī nebūtu horizontālā josla starp taisnēm $y=A-\varepsilon$ un $y=A+\varepsilon$, funkcijas grafiks (izņemot varbūt punktu $\bigl(a;f(a)\bigr)$) visiem $x\in (a-\delta; a+\delta)$ atrodas šajā joslā (3.5. zīm.).
2. $a=+\infty,\;\;A\in\mathbb{R}$.
   Šoreiz punkta $a=+\infty$ apkārtni varēs uzdot ar apkārtnes rādiusa
   $N>0$ palīdzību. Par punkta $a=+\infty$ $N$-apkārtni būs vaļējs intervāls $(N;+\infty)$.
   Skaitli $A$ nosauksim par funkcijas $f$ robežu punktā $a=+\infty$, ja jebkuram $\varepsilon>0$ eksistē tāds $N>0$, ka visiem $x$, kuriem $x>N$, izpildās nevienādība
   $$\vert f(x)-A\vert<\varepsilon\/.$$
   No ģeometriskā viedokļa tas nozīmē, lai cik šaura arī nebūtu horizontālā josla starp taisnēm $y=A-\varepsilon$ un $y=A+\varepsilon$, funkcijas grafiks visiem $x>N$ atrodas šajā joslā (3.6. zīm.).
3. $a=-\infty,\;\;A\in\mathbb{R}$.
   Skaitli $A$ nosauksim par funkcijas $f$ robežu punktā $a=-\infty$, ja jebkuram $\varepsilon>0$ eksistē tāds $N>0$, ka visiem $x$, kuriem $x<-N$, izpildās nevienādība
   $$\vert f(x)-A\vert<\varepsilon$$   (3.7. zīm.)$$\/.$$

4. $a\in\mathbb{R},\;\;A=+\infty$   (3.8. zīm.).
5. $a\in\mathbb{R},\;\;A=-\infty$   (3.9. zīm.).
6. $a=+\infty,\;\;A=+\infty$   (3.10. zīm.).
7. $a=+\infty,\;\;A=-\infty$   (3.11. zīm.).
8. $a=-\infty,\;\;A=+\infty$   (3.12. zīm.).
9. $a=-\infty,\;\;A=-\infty$.
   Simbolu $-\infty$ nosauksim par funkcijas $f$ robežu punktā $a=-\infty$, ja jebkuram $M>0$ eksistē tāds $N>0$, ka visiem $x$, kuriem $x<-N$, izpildās nevienādība $f(x)<-M$.
   No ģeometriskā viedokļa tas nozīmē: lai cik liels arī nebūtu skaitlis $M$ visiem $x<-N$ funkcijas grafiks $a$ rodas zem taisnes $y=-M$ (3.13. zīm.).
10. $a\in\mathbb{R},\;\;A=\infty$ (bez zīmes^3.6) (3.14. zīm.).
11. $a=+\infty,\;\;A=\infty$.
    Simbolu $\infty$ nosauksim par funkcijas $f$ robežu punktā $a=+\infty$, ja jebkuram $M>0$ eksistē tāds $N>0$, ka visiem $x>N$ izpildās nevienādība $\vert f(x)\vert>M$, t.i., $f(x)>M$ vai $f(x)<-M$.
    Piemēram, funkcijai
    $$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} e^x, & \text{ja} & x~- \text{racio... ...\ -e^x, & \text{ja} & x~- \text{iracionāls skaitlis,} \\ \end{array}\right.$$
    $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\infty$.
    No ģeometriskā viedokļa tas nozīmē, lai cik liels arī nebūtu skaitlis $M$, visiem $x>N$ funkcijas grafiks atrodas virs taisnes $y=M$ vai zem taisnes $y=-M$ (3.15. zīm.).
12. $a=-\infty,\;\;A=\infty\;\;$3.16. zīm.
13. $a=\infty,\;\;A\in\mathbb{R}$.
    Skaitli $A$ nosauksim par funkcijas $f$ robežu punktā $a=\infty$, ja jebkuram $\varepsilon>0$ eksistē tāds $N>0$, ka visiem $x$, kuriem $\vert x\vert>N$, izpildās nevienādība $\vert f(x)-A\vert<\varepsilon$.
    No ģeometriskā viedokļa tas nozīmē, lai cik šaura arī nebūtu horizontālā josla starp taisnēm $y=A-\varepsilon$, $y=A+\varepsilon$, funkcijas grafiks visiem $x>N$ vai $x<-N$ atradīsies šajā joslā (3.17. zīm.).
14. $a=\infty,\;\;A=+\infty\;\;$(3.18. zīm.).
15. $a=\infty,\;\;A=-\infty\;\;$(3.19. zīm.).
16. $a=\infty,\;\;A=\infty\;\;$(3.20. zīm.).

3.5. zīm.

3.6. zīm.

3.7. zīm.

3.8. zīm.

3.9. zīm.

3.10. zīm.

3.11. zīm.

3.12. zīm.

3.13. zīm.

3.14. zīm.

3.15. zīm.

3.16. zīm.

3.17. zīm.

3.18. zīm.

3.19. zīm.

3.20. zīm.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.3. Funkcijas robežas vienīgums Augstāk: 3. ROBEŽA Iepriekšējais: 3.1.3. Skaitļu virkņu bezgalīgas robežas