Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.5. Monotonas funkcijas robeža un tās Augstāk: 4. FUNKCIJAS NEPĀRTRAUKTĪBA Iepriekšējais: 4.3. Funkcijas vienpusējā nepārtrauktība

4.4. Funkcijas pārtraukuma punkti un to klasifikācija

4.6. definīcija. 

Punktu $x_0\in D(f)$ nosauksim par funkcijas pārtraukuma punktu, ja šajā punktā funkcija nav nepārtraukta.

Tātad visi funkcijas definīcijas apgabala punkti sadalās funkcijas pārtraukuma un nepārtrauktības punktos.

Piemēram, funkcijai $f(x)=\frac{1}{x-1}$ (4.5. zīm.) definīcijas apgabals
$D(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}$. Pārtraukuma punktu šai funkcijai nav.

4.5. zīm.

Funkcijai

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 1, & \text{ja} & x\neq x_0, \\ 0, & \text{ja} & x=x_0 \\ \end{array}\right.$$

(4.6. zīm.) definīcijas apgabala punkts $x=x_0$ ir par funkcijas pārtraukuma punktu, jo $f(x_0)=0$, bet $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=1$.

4.6. zīm.

Funkcijai $f(x)=\sign x$ definīcijas apgabala punkts $x=0$ ir par funkcijas pārtraukuma punktu, jo $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)$ neeksistē (3.27. zīm.).

Funkcijas pārtraukuma punktu klasifikācija ir šāda: funkcijas novēršama rakstura pārtraukuma punkti, funkcijas 1. veida pārtraukuma punkti un funkcijas 2. veida pārtraukuma punkti.

4.7. zīm.

4.7. definīcija. 

Funkcijas pārtraukuma punktu $x_0$ nosauksim par tās novēršama rakstura pārtraukuma punktu, ja punktā $x_0$ eksistē galīgas un vienādas funkcijas vienpusējās robežas, bet tās nav vienādas ar funkcijas vērtību šajā punktā, t.i.,

$$\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ x<x_0}}f(x)= \lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ x>x_0}}f(x)\neq f(x_0)\/.$$

Tā kā punktā $x_0$ funkcijas vienpusējās robežas sakrīt, tad šajā punktā eksistē galīga robeža $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)\neq f(x_0)$.

Piemēram, funkcijai

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 1, & \text{ja} & x\neq x_0, \\ 0, & \text{ja} & x=x_0 \\ \end{array}\right.$$

punkts $x=x_0$ ir tās novēršama rakstura pārtraukuma punkts (4.6. zīm.).

Apskatīsim funkciju

$$\varphi(x)=\left\{\begin{array}{ccc} f(x), & \text{ja} & x\neq x_... ...lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x), & \text{ja} & x=x_0. \\ \end{array}\right.$$

Funkcija $\varphi$ ir nepārtraukta punktā $x_0$. Šādā veidā, punktā $x_0$ izmainot funkcijas vērtību, funkcijas pārtraukuma punktu $x_0$ izdevās novērst.

4.8. definīcija. 

Funkcijas pārtraukuma punktu $x_0$ nosauksim par tās 1. veida pārtraukuma punktu, ja punktā $x_0$ eksistē galīgas un dažādas funkcijas vienpusējās robežas, t.i.,

$$\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ x<x_0}}f(x)\neq \lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ x>x_0}}f(x)\/.$$

Acīmredzot, šoreiz $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ neeksistē.

Piemēram, funkcijai $f(x)=\sign x$ punkts $x=0$ ir tās 1. veida pārtraukuma punkts (3.27. zīm.).

4.9. definīcija. 

Funkcijas pārtraukuma punktu $x_0$, kas nav ne funkcijas novēršama rakstura pārtraukuma punkts, ne funkcijas 1. veida pārtraukuma punkts, nosauksim par funkcijas 2. veida pārtraukuma punktu.

Acīmredzami, funkcijas 2. veida pārtraukuma punkti ir tie pārtraukuma punkti, kuros vismaz viena no šīs funkcijas vienpusējām robežām ir bezgalība vai vispār neeksistē.

Piemēram, funkcijai

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{1}{x}, & \text{ja} & x>0 \\ 0, & \text{ja} & x\leq 0 \\ \end{array}\right.$$

(4.8. zīm.) tās pārtraukuma punkts $x=0$ ir funkcijas 2. veida pārtraukuma punkts, jo

$$\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x>0}}f(x)=+\infty\/.$$

4.8. zīm.

Apskatīsim vēl dažus iespējamus gadījumus:

1. Funkcija definēta punktā $x_0$ un tikai, piemēram, pa labi no punkts $x_0$.
   1. Eksistē galīga $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ x>x_0}}f(x)=f(x_0)$.
      Kā tika atzīmēts iepriekš, uzskatīsim, ka eksistē
      $$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$$
      un ka $f$ nepārtraukta šajā punktā.
   2. Eksistē galīga $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ x>x_0}}f(x)\neq f(x_0)$.
      Arī šoreiz uzskatīsim, ka eksistē $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)= \lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ x>x_0}}f(x)$. Punkts $x_0$ būs funkcijas novēršama rakstura pārtraukuma punkts.
   3. Robeža $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow x_0\\ x>x_0}}f(x)$ neeksistē vai ir bezgalība. Punkts $x_0$ būs funkcijas 2. veida pārtraukuma punkts.
2. Ja punkts $x_0\not\in D(f)$ un eksistē galīga $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$, tad funkciju var definēt punktā $x_0$, turpinot to pēc nepārtrauktības, t.i.,
   $$\varphi(x)=\left\{\begin{array}{ccc} f(x), & \text{ja} & x\neq x_... ...lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x), & \text{ja} & x=x_0. \\ \end{array}\right.$$

Piemēram, funkcija $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ nav definēta punktā $x=0$ un eksistē

$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\/.$$

Funkcija

$$\varphi(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{\sin x}{x}, & \text{ja} & x\neq 0, \\ 1, & \text{ja} & x=0 \\ \end{array}\right.$$

būs nepārtraukta punktā $x=0$.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.5. Monotonas funkcijas robeža un tās Augstāk: 4. FUNKCIJAS NEPĀRTRAUKTĪBA Iepriekšējais: 4.3. Funkcijas vienpusējā nepārtrauktība