Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.6. Bolcano teorēma par nepārtrauktas funkcijas Augstāk: 4. FUNKCIJAS NEPĀRTRAUKTĪBA Iepriekšējais: 4.4. Funkcijas pārtraukuma punkti un to

4.5. Monotonas funkcijas robeža un tās pārtraukuma punkti

4.10. teorēma. 

Ja funkcija $f$ definēta punktā $x_0$ un tā apkārtnē, monotona šajā apkārtnē, tad punktā $x_0$ tai eksistē galīgas vienpusējās robežas, pie tam augošai vai nedilstošai funkcijai

$$\lim\limits_{x\rightarrow x_0-0}f(x)\leq f(x_0) \leq\lim\limits_{x\rightarrow x_0+0}f(x)\/,$$

dilstošai vai neaugošai funkcijai

$$\lim\limits_{x\rightarrow x_0-0}f(x)\geq f(x_0) \geq\lim\limits_{x\rightarrow x_0+0}f(x)\/.$$

$\blacktriangleright$ Apskatīsim tikai augošu funkciju. Apzīmēsim ar $E$ kopu, kas sastāv no punkta $x_0$ minētās apkārtnes tiem punktiem $x$, kuriem $x\leq x_0$. Visiem $x\in E$ izpildīsies nevienādība $f(x)\leq f(x_0)=\const$. Tas nozīmē, ka kopā $E$ funkcija $f$ ierobežota no augšas ar $f(x_0)$. Tātad kopā $E$ eksistē galīgs funkcijas augšējais slieksnis^4.3

$$b=\sup\limits_Ef(x)\/,$$

pie tam $b\leq f(x_0)$. Saskaņā ar kopas augšējā sliekšņa definīciju eksistē tāds $x'\in E$, ka $f(x')>b-\varepsilon$.

Tā kā funkcija $f$ ir augoša, tad visiem $x$, kuriem $x'<x<x_0$, izpildīsies nevienādība $f(x')<f(x)$.

Ievērojot, ka $f(x')>b-\varepsilon$, iegūsim $b-\varepsilon<f(x)$. Acīmredzami, $f(x)\leq b$, tāpēc visiem šādiem $x$ $(x'<x<x_0)$ izpildīsies nevienādība

$$b-\varepsilon<f(x)\leq b$$   vai$$\quad b-\varepsilon<f(x)<b+\varepsilon\/,$$

t.i.,

$$\vert f(x)-b\vert<\varepsilon\/.$$

Tātad punktā $x_0$ eksistē galīga robeža no kreisās puses un tā ir vienāda ar $b$, t.i.,

$$\lim\limits_{x\rightarrow x_0-0}f(x)=b\/,$$

pie tam

$$\lim\limits_{x\rightarrow x_0-0}f(x)\leq f(x_0)\/,$$

jo $b\leq f(x_0)$.

Ja apzīmē ar $E$ kopu, kas sastāv no punkta $x_0$ minētās apkārtnes tiem punktiem $x$, kuriem $x\geq x_0$ un rīkojas līdzīgi, tad iegūst, ka punktā $x_0$ eksistē galīga robeža no labās puses, pie tam

$$f(x_0)\leq\lim\limits_{x\rightarrow x_0+0}f(x)\/.\;\blacktriangleleft$$

4.11. teorēma. 

Punktā $x_0$ un tā apkārtnē definēta un monotona funkcija ir vai nu nepārtraukta šajā punktā, vai $x_0$ ir šīs funkcijas 1. veida pārtraukuma punkts.

$\blacktriangleright$ Apskatīsim tikai augošu funkciju. Saskaņā ar iepriekšējo teorēmu punktā $x_0$ eksistē galīgas vienpusējās robežas, pie tam

$$\lim\limits_{x\rightarrow x_0-0}f(x)\leq f(x_0)\leq \lim\limits_{x\rightarrow x_0+0}f(x)\/.$$

Iespējami šādi divi gadījumi:

1. $\lim\limits_{x\rightarrow x_0-0}f(x)= \lim\limits_{x\rightarrow x_0+0}f(x)$.
   Acīmredzami, funkcija $f$ ir nepārtraukta punktā $x_0$, jo eksistē
   $$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)\/.$$

2. $\lim\limits_{x\rightarrow x_0-0}f(x)\neq \lim\limits_{x\rightarrow x_0+0}f(x)$.
   Šoreiz $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ neeksistē. Punkts $x_0$ ir funkcijas 1. veida pārtraukuma punkts. $\blacktriangleleft$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.6. Bolcano teorēma par nepārtrauktas funkcijas Augstāk: 4. FUNKCIJAS NEPĀRTRAUKTĪBA Iepriekšējais: 4.4. Funkcijas pārtraukuma punkti un to