Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.7. Apvērstas funkcijas nepārtrauktība Augstāk: 4. FUNKCIJAS NEPĀRTRAUKTĪBA Iepriekšējais: 4.5. Monotonas funkcijas robeža un tās

4.6. Bolcano teorēma par nepārtrauktas funkcijas
starpvērtībām

4.12. teorēma. 

[Bolcano teorēma]

Ja funkcija $f$ ir nepārtraukta intervālā $\mathfrak{I}$, tad patvaļīgiem $a,b\in\mathfrak{I}$, kuriem $f(a)\neq f(b)$ un patvaļīgam $C$, kas atrodas starp $f(a)$ un $f(b)$, eksistē tāds $c$, kas atrodas starp $a$ un $b$, ka $f(c)=C$.

$\blacktriangleright$ Pieņemsim, ka $a<b$. Apzīmēsim ar $F(x)=f(x)-C$. Funkcija $F$ arī nepārtraukta intervālā $\mathfrak{I}$, pie tam tai vērtības slēgtā intervāla $[a;b]$ galapunktos ir ar pretējām zīmēm, jo

$$F(a)F(b)=\bigl(f(a)-C\bigr)\cdot\bigl(f(b)-C\bigr)<0$$

($C$ atrodas starp $f(a)$ un $f(b)$).

Parādīsim, ka intervālā $[a;b]$ eksistē tāds punkts $c$, kurā $F(c)=0$, t.i., $f(c)=C$.

Intervālu $[a;b]$ sadalīsim uz pusēm. Ja dalījuma punktā funkcijas $F$ vērtība ir nulle, tad teorēma ir pierādīta. Pretējā gadījumā to daļu, kuras galapunktos funkcijas $F$ vērtības ir ar pretējām zīmēm, apzīmēsim ar $[a_1;b_1]$. Ar intervālu $[a_1;b_1]$ rīkosimies tāpat kā ar $[a;b]$.

Ja kādā no dalīšanas etapiem nonāksim pie tāda dalījuma punkta, kurā funkcijas $F$ vērtība ir nulle, tad dalīšanas procesu pārtrauc un teorēma ir pierādīta. Ja dalīšanas process turpinās bezgalīgi, tad iegūsim savelkošos slēgtu intervālu virkni

$$[a;b]\supset[a_1;b_1]\supset\cdots\supset[a_n;b_n]\supset\cdots\/,$$

kurai eksistē vienīgais kopīgais punkts $c$. Šis punkts $c$ pieder visiem intervāliem, tai skaitā, arī intervālam $[a;b]$. Saskaņā ar dalīšanas procesa nosacījumu

$$F(a_n)F(b_n)<0\/.$$

Pāriesim pie robežas, kad $n$ tiecas uz bezgalību un iegūsim

$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\bigl(F(a_n)F(b_n)\bigr)\leq 0$$

jeb

$$F\left(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n\right)\cdot F\left(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n\right)\leq 0\/.$$

Tā kā $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n=c$, tad iegūsim, ka

$$\bigl(F(c)\bigr)^2\leq 0\/.$$

Seko, ka $F(c)=0$ jeb $f(c)=C$. Punkts $c$ nesakrīt ne ar punktu $a$, ne ar punktu $b$, jo $F(c)=0$, bet $F(a)\neq 0$ un $F(b)\neq 0$ (4.9. zīm.). $\blacktriangleleft$

4.8. zīm.

Šādi punkti $c$, kuros $f(c)=C$, var būt arī vairāki. Stingri monotonai funkcijai tāds punkts $c$ ir vienīgs.

No šīs teorēmas izriet, ka nepārtrauta funkcija intervālu attēlo par intervālu.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.7. Apvērstas funkcijas nepārtrauktība Augstāk: 4. FUNKCIJAS NEPĀRTRAUKTĪBA Iepriekšējais: 4.5. Monotonas funkcijas robeža un tās