Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.8. Slēgtā intervālā nepārtrauktu funkciju pamatīpašības Augstāk: 4. FUNKCIJAS NEPĀRTRAUKTĪBA Iepriekšējais: 4.6. Bolcano teorēma par nepārtrauktas funkcijas

4.7. Apvērstas funkcijas nepārtrauktība

4.13. teorēma. 

Ja funkcija $f$ nepārtraukta un stingri monotona intervālā $\langle a;b\rangle$, tad tās apvērstā funkcija $g$ nepārtraukta atbilstošajā intervālā.

$\blacktriangleright$ Funkcijai $f$ apvērsta funkcija $g$ eksistē, jo $f$ stingri monotona funkcija. Apzīmēsim ar $m=\inf\limits_{\langle a;b\rangle}f(x)$ un $M=\sup\limits_{\langle a;b\rangle}f(x)$. Tā kā $f$ nepārtraukta funkcija, tad tā attēlo intervālu $\langle a;b\rangle$ par intervālu $\langle m;M\rangle$, kurā ir definēta tās apvērstā funkcija $g$.

Apskatīsim tikai gadījumu, kad $f$ augoša funkcija. Tās apvērstā funkcija $g$ arī būs augoša funkcija.

Izvēlēsimies patvaļīgu $y_0$ $(m<y_0<M)$ un parādīsim, ka funkcija $g$ nepārtraukta punktā $y_0$. Saskaņā ar Bolcano teorēmu (skat. 4.12. teorēmu) par nepārtrauktas funkcijas starpvērtībām eksistē tāds $x_0\in\langle a;b\rangle$, ka $f(x_0)=y_0$ jeb
$x_0=g(y_0)$.

Izvēlēsimies jebkuru $\varepsilon>0$, bet tādu, lai

$$[x_0-\varepsilon; x_0+\varepsilon]\subset\langle a;b\rangle\/.$$

Tā kā $f$ nepārtraukta un augoša funkcija, tad tā attēlo šo slēgto intervālu par intervālu $\bigl[f(x_0-\varepsilon); f(x_0+\varepsilon)\bigr]$. Tā kā

$$x_0-\varepsilon<x_0<x_0+\varepsilon\/,$$

tad

$$f(x_0-\varepsilon)<f(x_0)<f(x_0+\varepsilon)\/.$$

Izvēlēsimies punkta $f(x_0)$ tādu $\delta$ -apkārtni, lai

$$f(x_0-\varepsilon)<f(x_0)-\delta<f(x_0)+\delta<f(x_0+\varepsilon)\;\;(\ref{ievgraf59}~$$zīm.$$).$$

4.9. zīm.

Jebkuram $y$, kas piederēs punkta $y_0=f(x_0)$ $\delta$ -apkārtnei, izpildīsies nevienādība

$$f(x_0-\varepsilon)<y<f(x_0+\varepsilon)\/.$$

Tā kā $g$ augoša funkcija, tad izpildīsies šāda nevienādība:

$$g\bigl(f(x_0-\varepsilon)\bigr)<g(y)<g\bigl(f(x_0+\varepsilon)\bigr)$$

jeb

$$x_0-\varepsilon<g(y)<x_0+\varepsilon\/,$$

t.i., $g(y)$ pieder punkta $x_0$ $\varepsilon$ -apkārtnei.

Seko, ka

$$\lim\limits_{y\rightarrow y_0}g(y)=x_0=g(y_0)\/,$$

t.i., funkcija $g$ nepārtraukta punktā $y_0$. Tā kā $y_0$ ir patvaļīgs punkts, tad $g$ -nepārtraukta funkcija intervālā $\langle m;M\rangle$. $\blacktriangleleft$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.8. Slēgtā intervālā nepārtrauktu funkciju pamatīpašības Augstāk: 4. FUNKCIJAS NEPĀRTRAUKTĪBA Iepriekšējais: 4.6. Bolcano teorēma par nepārtrauktas funkcijas