nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.8. Slēgtā intervālā nepārtrauktu funkciju pamatīpašības Augstāk: 4. FUNKCIJAS NEPĀRTRAUKTĪBA Iepriekšējais: 4.6. Bolcano teorēma par nepārtrauktas funkcijas

4.7. Apvērstas funkcijas nepārtrauktība


4.13. teorēma. 
Ja funkcija $ f$ nepārtraukta un stingri monotona intervālā $ \langle a;b\rangle$, tad tās apvērstā funkcija $ g$ nepārtraukta atbilstošajā intervālā.

$ \blacktriangleright$ Funkcijai $ f$ apvērsta funkcija $ g$ eksistē, jo $ f$ stingri monotona funkcija. Apzīmēsim ar $ m=\inf\limits_{\langle a;b\rangle}f(x)$ un $ M=\sup\limits_{\langle a;b\rangle}f(x)$. Tā kā $ f$ nepārtraukta funkcija, tad tā attēlo intervālu $ \langle a;b\rangle$ par intervālu $ \langle m;M\rangle$, kurā ir definēta tās apvērstā funkcija $ g$.

Apskatīsim tikai gadījumu, kad $ f$ augoša funkcija. Tās apvērstā funkcija $ g$ arī būs augoša funkcija.

Izvēlēsimies patvaļīgu $ y_0$ $ (m<y_0<M)$ un parādīsim, ka funkcija $ g$ nepārtraukta punktā $ y_0$. Saskaņā ar Bolcano teorēmu (skat. 4.12. teorēmu) par nepārtrauktas funkcijas starpvērtībām eksistē tāds $ x_0\in\langle a;b\rangle$, ka $ f(x_0)=y_0$ jeb
$ x_0=g(y_0)$.

Izvēlēsimies jebkuru $ \varepsilon>0$, bet tādu, lai

$\displaystyle [x_0-\varepsilon; x_0+\varepsilon]\subset\langle a;b\rangle\/.$

Tā kā $ f$ nepārtraukta un augoša funkcija, tad tā attēlo šo slēgto intervālu par intervālu $ \bigl[f(x_0-\varepsilon);
f(x_0+\varepsilon)\bigr]$. Tā kā

$\displaystyle x_0-\varepsilon<x_0<x_0+\varepsilon\/,$

tad

$\displaystyle f(x_0-\varepsilon)<f(x_0)<f(x_0+\varepsilon)\/.$

Izvēlēsimies punkta $ f(x_0)$ tādu $ \delta$ -apkārtni, lai

% latex2html id marker 17521
$\displaystyle f(x_0-\varepsilon)<f(x_0)-\delta<f(x_0)+\delta<f(x_0+\varepsilon)\;\;(\ref{ievgraf59}~$zīm.$\displaystyle ).$

\includegraphics[height=7cm]{ievgraf59.eps}

4.9. zīm.

Jebkuram $ y$, kas piederēs punkta $ y_0=f(x_0)$ $ \delta$ -apkārtnei, izpildīsies nevienādība

$\displaystyle f(x_0-\varepsilon)<y<f(x_0+\varepsilon)\/.$

Tā kā $ g$ augoša funkcija, tad izpildīsies šāda nevienādība:

$\displaystyle g\bigl(f(x_0-\varepsilon)\bigr)<g(y)<g\bigl(f(x_0+\varepsilon)\bigr)$

jeb

$\displaystyle x_0-\varepsilon<g(y)<x_0+\varepsilon\/,$

t.i., $ g(y)$ pieder punkta $ x_0$ $ \varepsilon$ -apkārtnei.

Seko, ka

$\displaystyle \lim\limits_{y\rightarrow y_0}g(y)=x_0=g(y_0)\/,$

t.i., funkcija $ g$ nepārtraukta punktā $ y_0$. Tā kā $ y_0$ ir patvaļīgs punkts, tad $ g$ -nepārtraukta funkcija intervālā $ \langle m;M\rangle$. $ \blacktriangleleft$


nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.8. Slēgtā intervālā nepārtrauktu funkciju pamatīpašības Augstāk: 4. FUNKCIJAS NEPĀRTRAUKTĪBA Iepriekšējais: 4.6. Bolcano teorēma par nepārtrauktas funkcijas

2003-02-24