Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.2. Darbības ar funkcijām. Salikta funkcija Augstāk: 2. FUNKCIJA Iepriekšējais: 2. FUNKCIJA

2.1. Funkcijas jēdziens

Par atbilstību nosauksim sakārtotu pāru ($x;y$) patvaļīgu kopu $S$. Pāru ($x;y$), kas veido atbilstību $S$, pirmo elementu $x$ kopu nosauksim par šīs atbilstības definīcijas apgabalu un apzīmēsim $D(S)$, bet otru elementu $y$ kopu nosauksim par atbilstības vērtību apgabalu un apzīmēsim $E(S)$. Viens un tas pats $x$ var būt par pirmo elementu dažādiem pāriem $(x;y)\in S$. Apskatīsim konkrētu piemēru. Pirmo kopu veido konkrētas klases meitenes: Ilga, Olga, Elga, Selga, Līga, bet otru kopu - sporta sekcijas: volejbols, basketbols, teniss, slēpošana. Izveidosim atbilstību $S$, piekārtojot katrai meitenei sekciju, kurā tā nodarbojas.

$$S=\bigl\{(I;b), (I;t), (O;t), (O;s), (E;t), (S;v), (L;b)\bigr\}\/.$$

2.1. zīm.

Atbilstību $S$ nosauksim par viennozīmīgu, ja katram $x\in D(S)$ atbilst viens $y$, ka $(x;y)\in S$. Piemērā apskatītā atbilstība nav viennozīmīga. Tā būs viennozīmīga, ja katrai meitenei ``ļaut'' nodarboties tikai vienā sekcijā.

2.1. definīcija. 

Par funkciju (attēlojumu) nosauksim katru viennozīmīgu atbilstību^2.4.

Ja $f$ - funkcija un $x\in D(f)$, tad vienīgo $y$, kuram $(x;y)\in f$, nosauksim par $f$ vērtību punktā $x$ vai par $x$ attēlu attēlojumā $f$ un apzīmēsim $f(x)$^2.5. Pašu $x$ šajā gadījumā nosauksim par pirmtēlu attēlojumā $f$.

Divas funkcijas $f$ un $g$ uzskatīsim par vienādām, ja tām ir vienādi definīcijas apgabali un katram $x\in D(f)=D(g):f(x)=g(x)$.

Funkciju citreiz pierakstām $x\rightarrow f(x)$ ($x\in D(f)$). Piemēram,
$x\rightarrow x^2\;(x\in\mathbb{R})$.

Mainīgo elementu $x$ no funkcijas $f$ definīcijas apgabala $D(f)$nosauksim par šīs funkcijas neatkarīgo mainīgo jeb argumentu un teiksim: ``$f$ - argumenta $x$ funkcija''.

2.2. definīcija. 

Funkciju $f$ nosauksim par injektīvu, ja tās vērtības dažādos definīcijas apgabala punktos ir dažādas, t.i.,

$$f(x'')=f(x')\Rightarrow x''=x'\/.$$

2.3. definīcija. 

Funkciju $f$, kurai $D(f)$, $E(f)\subset\mathbb{R}$, nosauksim par reālā mainīgā reālu funkciju^2.6.

Turpmāk apskatīsim tikai šādas funkcijas.

Visbiežāk tās izsaka ar kaut kādu formulu. Ja funkcija ir uzdota ar formulu^2.7 un tās definīcijas apgabals nav norādīts, tad uzskatīsim, ka funkcijas definīcijas apgabalu veido visas tās neatkarīgā mainīgā (argumenta) vērtības, ar kurām šai formulai ir jēga. Piemēram, funkcijai, kas uzdota ar formulu $f(x)=\frac{1}{x-2}$, definīcijas apgabals sastāv no visiem reāliem skaitļiem, izņemot skaitli $2$.

Iedomāsimies reālo skaitļu kopu, kas ir ņemta divos eksemplāros. 2.2. zīm. šie abi eksemplāri ir attēloti kā divas paralēlas taisnes.

Pieņemsim, ka funkcijas $f$ definīcijas apgabals $D(f)$ atrodas uz pirmā eksemplāra, bet funkcijas vērtību apgabals $E(f)$ - uz otrā eksemplāra. Ģeometriskā interpretācijā katrs kopas $D(f)$ punkts $x$, kas atrodas uz pirmās (augšējās) taisnes, attēlojas par kādu punktu $y=f(x)$, kas atrodas uz otras (apakšējās) taisnes. Pirmtēlu un tam atbilstošo attēlu savienosim ar bultiņu, vēršot to no pirmtēla uz attēlu (2.2. zīm.).

2.2. zīm.

Pilnīgi realizēt šo konstrukciju ne vienmēr ir iespējams, jo argumenta vērtību kopa, vispārīgi runājot, ir bezgalīga. Tomēr, ņemot kādu galīgu skaitu pirmtēlu un tiem atbilstošos attēlus, daudzos gadījumos ir iespējams iegūt shēmu, kura pietiekami labi dod priekšstatu par attēlošanas patieso ainu. Saskaņā ar funkcijas jēdziena definīciju katrai argumenta vērtībai $x=a$ atbilst $f(a)$ - tā vienīgais attēls. Ja funkcija nav injektīva, tad var izrādīties, ka divām dažādām argumenta vērtībām $a$ un $b$ ir spēkā vienādība $f(a)=f(b)$ un skaitlim $f(a)$ ir vismaz divi pirmtēli $a$ un $b$ (2.3. zīm.).

2.3. zīm.

2.4. definīcija. 

Par funkcijas $f$ grafiku^2.8 nosauksim šādu kopu

$$G_f=\{(x;y)\bigl\vert\;x\in D(f),\; y=f(x)\}\/.$$

Parasti šo kopu attēlo koordinātu plaknē. Koordinātu plaknes apakškopa ir kādas funkcijas grafiks tikai tad, ja tai ar katru $y$ asij paralēlu taisni ir ne vairāk kā viens kopīgs punkts. Piemēram, 2.4. zīmējumā redzamā kopa nav funkcijas grafiks, jo tā satur divus punktus ar vienu un to pašu abscisu $a$, bet dažādām ordinātēm $b_1$ un $b_2$. Ja šo kopu uzskatītu par kādas funkcijas grafiku, tad vērtībai $x=a$ atbilstu divas dažādas vērtības $b_1$ un $b_2$, bet tas ir pretrunā ar funkcijas definīciju.

Funkciju bieži uzdod ar tās grafiku. Vēl viens no paņēmieniem, kā var uzdot funkciju, ir vārdos izteiktais paņēmiens.

2.4. zīm.

Piemēram, $f(x)=[x]$ - skaitļa $x$ veselā daļa^2.9, $f(x)=\{x\}$ - skaitļa $x$ daļveida daļa^2.10. Šo funkciju grafiki attēloti 2.5. un 2.6. zīmējumā.

2.5. zīm.

2.6. zīm.

Par funkcijas definīcijas apgabalu var būt jebkura skaitļu kopa. Speciālā gadījumā, ja par funkcijas definīcijas apgabalu ir vaļējs intervāls (slēgts intervāls), tad teiksim, ka funkcija ir definēta vaļējā intervālā (slēgtā intervālā). Runājot par funkcijas vērtību apgabalu, jāpiezīmē, ka šī kopa var sastāvēt no viena paša skaitļa $C$. Šajā gadījumā katrai argumenta vērtībai atbilst viens un tas pats skaitlis $C$, t.i., jebkurai argumenta vērtībai $x$ ir spēkā vienādība $f(x)=C$ (2.7. zīm.).

2.7. zīm.

2.5. definīcija. 

Funkciju, kurai vērtība katrai argumenta vērtībai ir viens un tas pats skaitlis, nosauksim par pastāvīgu jeb konstantu funkciju.

Ja funkcija $f$ ir konstanta, tad rakstīsim $f(x)=\const$. Piemēram, $f(x)=\sin^2x+\cos^2x$ ir konstanta funkcija. Konstantas funkcijas grafiks ir taisne, kas paralēla abscisu asij (vai arī šīs taisnes daļa).

Bieži vien dotā funkcija jāapskata nevis visā definīcijas apgabalā, bet tikai kādā tā daļā. Tā, piemēram, trigonometriskās funkcijas $\sin x$ un $\cos x$, kas ir definētas visu reālo skaitļu kopā, nākas apskatīt atbilstoši intervālos $[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$ un $[0;\pi]$. Apskatīsim funkciju $f$ ar definīcijas apgabalu $D(f)$ un izvēlēsimies tā apakškopu $E\subset D(f)$.

2.6. definīcija. 

Par funkcijas $f$ sašaurinājumu uz kopu $E\subset D(f)$ nosauksim tādu funkciju $f\vert _E$, kurai definīcijas apgabals ir kopa $E$, bet tās vērtības šīs kopas punktos ir vienādas ar $f(x)$, t.i., $D\left(f\vert _E\right)=E$; visiem $x\in E$; $f\vert _E(x)=f(x)$.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.2. Darbības ar funkcijām. Salikta funkcija Augstāk: 2. FUNKCIJA Iepriekšējais: 2. FUNKCIJA