Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.3. Reālā mainīgā reālu funkciju klasifikācija Augstāk: 2. FUNKCIJA Iepriekšējais: 2.1. Funkcijas jēdziens

2.2. Darbības ar funkcijām. Salikta funkcija

Ar reāliem skaitļiem ir definētas četras algebriskas darbības. Rodas iespēja šīs darbības definēt arī ar funkcijām^2.11.

2.7. definīcija. 

Par divu funkciju $f$ un $g$ summu (apzīmēsim $f+g$) nosauksim funkciju, kurai:

1. $D(f+g)=D(f)\cap D(g)$;
2. visiem $x$ no funkcijas $f+g$ definīcijas apgabala
   $$(f+g)(x)=f(x)+g(x)\/.$$

Līdzīgā veidā var definēt divu funkciju starpību un reizinājumu.

2.8. definīcija. 

Par divu funkciju $f$ un $g$ dalījumu (apzīmēsim $\frac{f}{g}$) nosauksim funkciju, kurai:

1. $D\left(\frac{f}{g}\right)=D(f)\cap\{x\in D(g)\vert\;g(x)\neq 0\}$;
2. visiem $x$ no funkcijas $\frac{f}{g}$ definīcijas apgabala
   $$\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\/.$$

2.9. definīcija. 

Par funkcijas $f$ moduli (apzīmēsim $\vert f\vert$) nosauksim funkciju, kurai:

1. $D(\vert f\vert)=D(f)$;
2. visiem $x$ no šo funkciju definīcijas apgabala
   $$\vert f\vert(x)=\vert f(x)\vert\/.$$

Funkcijas argumentu aizstājot ar jauna argumenta funkciju, iegūst tā saucamo saliktu funkciju^2.12.

Piemēram, $\lg\sin x$, $a^{2x}$ ir saliktas funkcijas. Ar saliktas funkcijas definīcijas apgabalu sapratīsim to pēdējā argumenta vērtības, kurām iegūtai izteiksmei ir jēga. Apskatīsim divas funkcijas $g(y)$ un $f(x)$. Pirmās funkcijas argumenta $y$ vietā rakstot $f(x)$, iegūsim saliktu funkciju $g\bigl(f(x)\bigr)$.

Šo saliktu funkciju vēl nosauksim par funkciju $f$ un $g$ kompozīciju un apzīmēsim $g\circ f$. Tātad

$$D(g\circ f)=\{x\in D(f)\vert\;f(x)\in D(g)\}\/.$$

Tas nozīmē, ka saliktas funkcijas $g\bigl(f(x)\bigr)$ definīcijas apgabals ir visu to funkcijas $f$ definīcijas apgabala punktu $x$ kopa, kuriem atbilstošās vērtības $f(x)$ pieder funkcijas $g$ definīcijas apgabalam. Viegli var saskatīt, ka divu funkciju kompozīcija nav komutatīva, t.i., $g\circ f\neq f\circ g$.

2.10. definīcija. 

Par virkni nosauksim funkciju^2.13, kuras definīcijas apgabals ir visu naturālo skaitļu kopa.

Šīs funkcijas vērtību punktā $n$ apzīmēsim ar $f_n$, bet pašu virkni ar $(f_n)$.

Pie fiksēta $n$ $f_n$ nosauksim par virknes $n$ -to locekli, bet pie patvaļīga $n$ - virknes vispārīgo locekli.

Virkņu apzīmēšanai visbiežāk izmantosim latīņu alfabēta pirmos burtus $(a_n)$, $(b_n)$, $(c_n)$ utt.

Virknes uzdod galvenokārt ar diviem paņēmieniem:

1. ar $n$ -tā locekļa formulu;
2. ar rekurences paņēmienu, kurā norāda pirmos $k$ virknes locekļus un formulu, saskaņā ar kuru var atrast šīs virknes katru nākamo locekli. Piemēram, $a_n=n$ izsaka naturālo skaitļu kopu. Rekurences formula
   $$a_1=1, a_2=1\;$$un$$\;a_{n+2}=a_n+a_{n+1}\; (n\geq 1)$$
   izsaka virkni
   $$a_1=1, a_2=1, a_3=2, a_4=3, a_5=5, a_6=8, a_7=13, \ldots .$$

Skolā tiek apskatītas tādas skaitļu virknes kā aritmētiskā un ģeometriskā progresija^2.14.

Atgādinu, ka skaitļu virkni, kuras katrs loceklis, sākot no otrā, vienāds ar iepriekšējā locekļa un viena un tā paša skaitļa $d$ summu, sauc par aritmētisko progresiju. Skaitli $d$ sauc par aritmētiskās progresijas diferenci. Aritmētisko progresiju, kuras pirmais loceklis ir $a_1$ un diference $d$, var definēt ar $a_1$ un rekurences formulu $a_{n+1}=a_n+d\; (n\geq 1)$.

Skaitļu virkni, kuras pirmais loceklis nav vienāds ar nulli, bet katrs loceklis, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējā locekļa un no nulles atšķirīga skaitļa $q$ reizinājumu, sauc par ģeometrisko progresiju. Skaitli $q$ sauc par ģeometriskās progresijas kvocientu. Ģeometrisko progresiju, kuras pirmais loceklis ir $b_1$ un kvocients ir $q$, var definēt ar $b_1\neq 0$ un rekurences formulu $b_{n+1}=b_nq\;(n\geq 1)$.

Virknes locekļi ir ne tikai tās vērtību kopas elementi, bet elementi, kuriem ir piekārtoti numuri. Elementi var būt vienādi, bet to numuri dažādi. Tādus elementus uzskatām par virknes dažādiem locekļiem. Virknes vērtību kopa var sastāvēt pat no viena elementa. Piemēram,

$$a_1=1, a_2=1, a_3=1,\ldots, a_n=1,\ldots .$$

2.11. definīcija. 

Virkni nosauksim par stacionāru, ja tās visu locekļu vērtības, sākot no kādas noteiktas vietas, sakrīt.

Virknē $(a_n)$ izsvītrosim tās locekļus tā, lai pāri paliktu bezgalīgi daudz locekļu un šos pāri palikušos locekļus sanumurēsim no jauna. Iegūsim jaunu virkni, kuru nosauksim par dotās virknes $(a_n)$ apakšvirkni un apzīmēsim $\left(a_{n_k}\right)$. Elementu $a_{n_k}$ var iegūt no $a_n$, ja $n$ vietā ievieto $n_k$. Tāpēc apakšvirkni var uzskatīt kā saliktu funkciju (divu funkciju kompozīciju). Var runāt par virknes (kā funkcijas) grafiku un to attēlot koordinātu plaknē.

Šoreiz koordinātu plaknē iegūsim izolētus punktus. Virknei var sniegt interpretāciju uz koordinātu taisnes, t.i., virknes locekļus attēlot kā taisnes punktus.

Piemēram, apskatīsim virkni

$$a_1=1, a_2=\frac{1}{2}, a_3=\frac{1}{3},\ldots, a_n=\frac{1}{n},\ldots .$$

Interpretēsim to koordinātu plaknē (2.8. zīm.) un uz koordinātu taisnes (2.9. zīm.).

2.8. zīm.

2.9. zīm.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.3. Reālā mainīgā reālu funkciju klasifikācija Augstāk: 2. FUNKCIJA Iepriekšējais: 2.1. Funkcijas jēdziens