Matemātika
DU TSC
Nākamais: 2.3. Reālā mainīgā reālu funkciju klasifikācija
Augstāk: 2. FUNKCIJA
Iepriekšējais: 2.1. Funkcijas jēdziens
Ar reāliem skaitļiem ir definētas četras algebriskas darbības.
Rodas iespēja šīs darbības definēt arī ar
funkcijām2.11.
-
2.7. definīcija.
- Par divu funkciju
un
summu (apzīmēsim
) nosauksim funkciju, kurai:
-
;
- visiem
no funkcijas
definīcijas apgabala
Līdzīgā veidā var definēt divu funkciju starpību un reizinājumu.
-
2.8. definīcija.
- Par divu funkciju
un
dalījumu (apzīmēsim
) nosauksim funkciju, kurai:
-
;
- visiem
no funkcijas
definīcijas
apgabala
-
2.9. definīcija.
- Par funkcijas
moduli (apzīmēsim
)
nosauksim funkciju, kurai:
-
;
- visiem
no šo funkciju definīcijas apgabala
Funkcijas argumentu aizstājot ar jauna argumenta funkciju, iegūst
tā saucamo saliktu funkciju2.12.
Piemēram,
,
ir saliktas funkcijas. Ar saliktas
funkcijas definīcijas apgabalu sapratīsim to pēdējā
argumenta vērtības, kurām iegūtai izteiksmei ir jēga. Apskatīsim
divas funkcijas
un
. Pirmās funkcijas argumenta
vietā rakstot
, iegūsim saliktu funkciju
.
Šo saliktu funkciju vēl nosauksim par funkciju
un
kompozīciju un apzīmēsim
. Tātad
Tas nozīmē, ka saliktas funkcijas
definīcijas
apgabals ir visu to funkcijas
definīcijas apgabala punktu
kopa, kuriem atbilstošās vērtības
pieder funkcijas
definīcijas apgabalam. Viegli var saskatīt, ka divu funkciju
kompozīcija nav komutatīva, t.i.,
.
-
2.10. definīcija.
- Par virkni nosauksim funkciju2.13, kuras definīcijas apgabals ir visu naturālo skaitļu
kopa.
Šīs funkcijas vērtību punktā
apzīmēsim ar
, bet pašu
virkni ar
.
Pie fiksēta
nosauksim par virknes
-to locekli, bet pie patvaļīga
-
virknes vispārīgo locekli.
Virkņu apzīmēšanai visbiežāk izmantosim latīņu alfabēta pirmos
burtus
,
,
utt.
Virknes uzdod galvenokārt ar diviem paņēmieniem:
- ar
-tā locekļa formulu;
- ar rekurences paņēmienu, kurā norāda pirmos
virknes
locekļus un formulu, saskaņā ar kuru var atrast šīs virknes
katru nākamo locekli. Piemēram,
izsaka naturālo
skaitļu kopu. Rekurences formula

un
izsaka virkni
Skolā tiek apskatītas tādas skaitļu virknes kā aritmētiskā un
ģeometriskā progresija2.14.
Atgādinu, ka skaitļu virkni, kuras katrs loceklis, sākot no otrā,
vienāds ar iepriekšējā locekļa un viena un tā paša skaitļa
summu, sauc par aritmētisko progresiju. Skaitli
sauc par aritmētiskās progresijas diferenci. Aritmētisko
progresiju, kuras pirmais loceklis ir
un diference
, var
definēt ar
un rekurences formulu
.
Skaitļu virkni, kuras pirmais loceklis nav vienāds ar nulli, bet
katrs loceklis, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējā
locekļa un no nulles atšķirīga skaitļa
reizinājumu, sauc par
ģeometrisko progresiju. Skaitli
sauc par ģeometriskās
progresijas kvocientu. Ģeometrisko progresiju, kuras
pirmais loceklis ir
un kvocients ir
, var definēt ar
un rekurences formulu
.
Virknes locekļi ir ne tikai tās vērtību kopas elementi, bet
elementi, kuriem ir piekārtoti numuri. Elementi var būt vienādi,
bet to numuri dažādi. Tādus elementus uzskatām par virknes
dažādiem locekļiem. Virknes vērtību kopa var sastāvēt pat no
viena elementa. Piemēram,
-
2.11. definīcija.
- Virkni nosauksim par stacionāru, ja tās
visu locekļu vērtības, sākot no kādas noteiktas vietas,
sakrīt.
Virknē
izsvītrosim tās locekļus tā, lai pāri paliktu
bezgalīgi daudz locekļu un šos pāri palikušos locekļus sanumurēsim
no jauna. Iegūsim jaunu virkni, kuru nosauksim par dotās virknes
apakšvirkni un apzīmēsim
.
Elementu
var iegūt no
, ja
vietā ievieto
.
Tāpēc apakšvirkni var uzskatīt kā saliktu funkciju (divu funkciju
kompozīciju). Var runāt par virknes (kā funkcijas) grafiku
un to attēlot koordinātu plaknē.
Šoreiz koordinātu plaknē iegūsim izolētus punktus. Virknei var
sniegt interpretāciju uz koordinātu taisnes, t.i., virknes
locekļus attēlot kā taisnes punktus.
Piemēram, apskatīsim virkni
Interpretēsim to koordinātu plaknē (2.8. zīm.) un uz
koordinātu taisnes (2.9. zīm.).
Matemātika
DU TSC
Nākamais: 2.3. Reālā mainīgā reālu funkciju klasifikācija
Augstāk: 2. FUNKCIJA
Iepriekšējais: 2.1. Funkcijas jēdziens
2003-02-24