Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.4. Funkcijas ekstrēma pietiekamie nosacījumi Augstāk: 3. ATVASINĀJUMA LIETOJUMI FUNKCIJU PĒTĪŠANĀ Iepriekšējais: 3.2. Funkcijas monotonitātes nosacījumi

3.3. Funkcijas ekstrēmi un to nepieciešamais nosacījums

Apskatīsim funkciju $f$, definētu punkta $x_0$ apkārtnē.

3.2. definīcija. Punktu $x_0$ sauc par funkcijas $f$ maksimuma^3.3punktu, ja visiem $x\neq x_0$ no šī punkta kaut kādas apkārtnes ir pareiza nevienādība

$$f(x)<f(x_0)$$

Skat. 3.4. zīm.

3.4. zīmējums

3.3. definīcija. Funkcijas $f$ vērtību tās maksimuma punktā sauc par funkcijas maksimumu un apzīmē $y_0=f(x_0)=\max f(x)$.

Analogi definē funkcijas minimuma^3.4 punktu un funkcijas minimumu (apzīmē: $\min f(x)$).

3.4. definīcija. Maksimuma un minimuma punktus nešķirojot sauc par ekstrēma^3.5 punktiem, bet funkcijas vērtības šajos punktos - par funkcijas ekstrēmiem.

3.4. teorēma.  (Diferencējamas funkcijas ekstrēma nepieciešamais nosacījums).

Ja funkcija $f$ ir diferencējama tās ekstrēma punktā $x_0$, tad $f'(x_0)=0$.

$\blacktriangleright$ Pieņemsim, ka $x_0$ ir funkcijas maksimuma punkts. Tad saskaņā ar maksimuma punkta definīciju $y_0=f(x_0)$ ir vislielākā funkcijas vērtība punkta $x_0$ kaut kādā apkārtnē. Saskaņā ar Fermā teorēmu $f'(x_0)=0$. Minimuma punkta gadījumā pierādījums ir analogs. $\blacktriangleleft$

3.5. definīcija. Punktu $x_0$ sauc par funkcijas stacionāro^3.6punktu, ja $f'(x_0)=0$.

Funkcijas stacionārajam punktam $x_0$ ir šāda ģeometriskā interpretācija: funkcijas grafikam atbilstošajā punktā $M_0(x_0;f(x_0))$ konstruētā pieskare ir horizontāla (3.4. zīm.).

Acīmredzami, funkcijai var būt ekstrēms arī tajā definīcijas apgabala iekšējā punktā, kurā tā nav diferencējama. Piemēram, funkcijai $f(x)=\vert x\vert$ punkts $x_0=0$ ir tās minimuma punkts (1.1. zīm.).

3.6. definīcija. Funkcijas stacionāros punktus un tos definīcijas apgabala iekšējos punktus, kuros funkcija nav diferencējama, sauc par tās kritiskajiem^3.7 punktiem.

No visa teiktā izriet, ka tikai kritiskie punkti var būt par funkcijas ekstrēma punktiem. Citiem vārdiem, ekstrēmi var būt tikai funkcijas kritiskajos punktos. Svarīgi ir atzīmēt, ka ne katrā funkcijas kritiskajā punktā ir ekstrēms. Piemēram, funkcijai $f(x)=x^3$ punkts $x_0=0$ ir kritiskais punkts (konkrēti stacionārais punkts), bet šajā punktā funkcijai nav ne maksimuma, ne minimuma. Apskatīsim vēl vienu piemēru. Funkcija $f(x)=\sqrt[3]{x}$ nav diferencējama punktā $x_0=0$. Tomēr šajā kritiskajā punktā funkcijai arī nav ekstrēma (1.4. zīm.).

Lai no kritiskajiem punktiem izdalītu funkcijas ekstrēma punktus, formulēsim ekstrēma pietiekamos nosacījumus.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.4. Funkcijas ekstrēma pietiekamie nosacījumi Augstāk: 3. ATVASINĀJUMA LIETOJUMI FUNKCIJU PĒTĪŠANĀ Iepriekšējais: 3.2. Funkcijas monotonitātes nosacījumi