Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.3. Funkcijas ekstrēmi un to nepieciešamais Augstāk: 3. ATVASINĀJUMA LIETOJUMI FUNKCIJU PĒTĪŠANĀ Iepriekšējais: 3.1. Konstantas funkcijas nosacījums

3.2. Funkcijas monotonitātes nosacījumi

3.2. teorēma.  (Intervālā augošas funkcijas nepieciešamais nosacījums). Ja intervālā $(a;b)$ diferencējama funkcija $f$ ir augoša, tad jebkurā šī intervāla punktā $f'(x)\geq 0$.

$\blacktriangleright$ Izvēlēsimies intervāla $(a;b)$ patvaļīgu punktu $x$ un sastādīsim funkcijas $f$ pieaugumu šajā punktā $\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$, kur $x+\Delta x\in (a;b)$. Intervālā augošai funkcijai tās pieauguma zīme sakrīt ar argumenta pieauguma zīmi, tāpēc $\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}>0$. Tā kā $f$ ir diferencējama funkcija, tad šādai attiecībai eksistē robeža, kad $\Delta x\rightarrow 0$. Nevienādībā pārejot pie robežas, iegūsim $f'(x)\geq 0$. $\blacktriangleleft$

3.1. zīmējums

3.1. piezīme. 

$\phantom{}$

1. Augošai funkcijai intervāla atsevišķos punktos atvasinājums var būt nulle. Piemēram, $f(x)=x^3$ ir augoša funkcija, bet $f'(0)=0$.
2. Augošai funkcijai tie punkti, kuros atvasinājums ir nulle, nedrīkst veidot nekādu intervālu. (Pretējā gadījumā šajā intervālā funkcija būtu konstanta).
3. Intervālā augošas funkcijas grafikam pieskares veido ar abscisu ass pozitīvo virzienu šaurus leņķus vai atsevišķos punktos ir paralēlas abscisu asij (3.1. zīm.).

Analogi var formulēt un pierādīt intervālā $(a;b)$ dilstošas funkcijas nepieciešamo nosacījumu.

3.3. teorēma.  (Intervālā augošas funkcijas pietiekamais nosacījums). Ja intervālā $(a;b)$ diferencējamai funkcijai katrā šī intervāla punktā $f'(x)>0$, tad $f$ ir augoša funkcija šajā intervālā.

$\blacktriangleright$ Izvēlēsimies šī intervāla divus patvaļīgus punktus $x_1,\;x_2$, pie tam $x_2>x_1$. Saskaņā ar Lagranža formulu $f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)$, kur $x_1<c<x_2$. Tā kā visos intervāla $(a;b)$ punktos $f'(x)>0$, tad arī $f'(c)>0$. Tā kā $x_2-x_1>0$, tad arī $f'(c)(x_1-x_1)>0$. Seko, ka $f(x_2)-f(x_1)>0$ jeb $f(x_2)>f(x_1)$, t.i., $f$ ir augoša funkcija intervālā $(a;b)$. $\blacktriangleleft$

3.2. piezīme. 

Ja intervāla atsevišķos punktos atvasinājums ir nulle, bet pārējos - pozitīvs, tad $f$ ir augoša funkcija šajā intervālā.

Analogi var formulēt un pierādīt intervālā $(a;b)$ dilstošas funkcijas pietiekamo nosacījumu.

3.1. definīcija. Intervālus, kuros funkcija aug (vai dilst), sauc par tās augšanas (vai dilšanas) intervāliem. Augšanas vai dilšanas intervālus nešķirojot sauc par funkcijas monotonitātes intervāliem.

Lai atrastu funkcijas monotonitātes intervālus, rīkojas šādi.

1. Atrod funkcijas atvasinājumu $f'(x)$.
2. Atrod tos intervālus, kuros atvasinājums saglabā zīmi^3.2. Ja kādā intervālā $f'(x)>0$, tad tas ir funkcijas augšanas intervāls, ja turpretim $f'(x)<0$, tad - dilšanas intervāls.

3.2. piemērs. 

Atrast funkcijas $f(x)=x^3-6x^2+9x+2$ monotonitātes intervālus.

1. Atrodam $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$.
2. Atvasinājums ir nulle punktos $x=1$ un $x=3$. Šie punkti funkcijas definīcijas apgabalu sadala trijos intervālos. Katrā no šiem intervāliem atvasinājums saglabā savu zīmi (lai noteiktu atvasinājuma zīmi kādā no šiem intervāliem, pietiek aprēķināt tā vērtību intervāla jebkurā vienā punktā). Atvasinājuma vērtību zīmes ir lietderīgi atzīmēt uz skaitļu taisnes (3.2. zīm.).

3.2. zīmējums

Tādējādi funkcijas augšanas intervāli ir $(-\infty;1)$ un $(3;+\infty)$, bet dilšanas intervāls - $(1;3)$.

(Bultiņa uz augšu norāda, ka funkcija ir augoša, bet bultiņa uz leju - ka funkcija ir dilstoša atbilstošajā intervālā). Funkcijas grafiks attēlots 3.3. zīmējumā.

3.3. zīmējums

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.3. Funkcijas ekstrēmi un to nepieciešamais Augstāk: 3. ATVASINĀJUMA LIETOJUMI FUNKCIJU PĒTĪŠANĀ Iepriekšējais: 3.1. Konstantas funkcijas nosacījums