Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.2. Funkcijas monotonitātes nosacījumi Augstāk: 3. ATVASINĀJUMA LIETOJUMI FUNKCIJU PĒTĪŠANĀ Iepriekšējais: 3. ATVASINĀJUMA LIETOJUMI FUNKCIJU PĒTĪŠANĀ

3.1. Konstantas funkcijas nosacījums

3.1. teorēma.  Lai funkcija $f$ būtu konstanta intervālā $(a;b)$, ir nepieciešami un pietiekami, lai tai šajā intervālā eksistētu atvasinājums, kas ir vienāds ar nulli.

$\blacktriangleright$ Nepieciešamība. Izriet no 1.3. teorēmas.

Pietiekamība. Jebkuriem diviem šī intervāla punktiem $x_0$ un $x$, kur $x_0$ - fiksēts, bet $x$ - patvaļīgs punkts, ir spēkā Lagranža formula: $f(x)-f(x_0)=f'(c)(x-x_0)$, kur $c$ atrodas starp $x_0$ un $x$.

Tā kā $f'(c)=0$, tad $f(x)-f(x_0)=0$ jeb $f(x)=f(x_0)=$const. Tādējādi funkcija $f$ ir konstanta intervālā $(a;b)$. $\blacktriangleleft$

Sekas. Ja divām intervālā $(a;b)$ diferencējamām funkcijām ir vienādi atvasinājumi, tad šīs funkcijas var atšķirties tikai par konstanti.

Pierādīt patstāvīgi^3.1.

3.1. piemērs. 

Pierādīt, ka $\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}$.

Izveidosim divas funkcijas $f(x)=\arcsin x$ un $g(x)=-\arccos x$. Acīmredzami, visiem $x\in (-1;1)$ ir spēkā $f'(x)=g'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. Saskaņā ar sekām $f(x)-g(x)=C$ jeb $\arcsin x+\arccos x=C$. Lai atrastu konstantes vērtību, ievietosim šajā identitātē $\,x=0\,$. Iegūsim $\;\arcsin 0+\arccos 0=C\;$ jeb $\;0+\frac{\pi}{2}=C$. Tādējādi $C=\frac{\pi}{2}$ un $\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}$. Ar tiešo pārbaudi var pārliecināties, ka vienādība ir spēkā arī šī intervāla galapunktos.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.2. Funkcijas monotonitātes nosacījumi Augstāk: 3. ATVASINĀJUMA LIETOJUMI FUNKCIJU PĒTĪŠANĀ Iepriekšējais: 3. ATVASINĀJUMA LIETOJUMI FUNKCIJU PĒTĪŠANĀ