Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.5. Saliktas funkcijas atvasinājums Augstāk: 1. DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 1.3. Funkcijas diferenciālis un tā ģeometriskā

1.4. Diferencēšanas likumi

1.3. teorēma.  Ja funkcija $f$ ir konstanta kādā intervālā $(a;b)$, tad tās atvasinājums šajā intervālā ir nulle.

$\blacktriangleright$ Tā kā visiem $x\in (a;b)$ ir spēkā $f(x)=C$, tad $\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)= C-C=0$ un $f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=0$. $\blacktriangleleft$

1.4. teorēma. Ja funkcijas $\,u\,$ un $\,v\,$ ir diferencējamas punktā $\,x\,$, tad $\,(u\pm v)$ arī ir diferencējama šajā punktā, pie tam

$$\boxed{(u\pm v)'=u'\pm v'.}$$

$\blacktriangleright$ Sastādīsim funkcijas $(u\pm v)$ pieaugumu punktā $x$

$$\begin{multline*} \Delta (u\pm v)(x)=(u\pm v)(x+\Delta x)-(u\pm v)(x)=\\ =\le... ...\right)=\\ =\Delta u(x)\pm \Delta v(x).\qquad\qquad\qquad\qquad \end{multline*}$$

Sastādīsim attiecību

$$\frac{\Delta(u\pm v)(x)}{\Delta x}=\frac{\Delta u(x)\pm \Delta v(x)}{\Delta x}= \frac{\Delta u(x)}{\Delta x}\pm \frac{\Delta v(x)}{\Delta x}.$$

Šīs vienādības labajai pusei eksistē galīga robeža, kad $\Delta x\rightarrow 0$ (jo funkcijas $u$ un $v$ ir diferencējamas punktā $x$), un tā ir vienāda ar $u'(x)\pm v'(x)$. Tas nozīmē, ka kreisajai pusei eksistē galīga robeža, kas arī ir vienāda ar $u'(x)\pm v'(x)$. Tādējādi $(u\pm v)$ ir diferencējama punktā $x$, pie tam $(u\pm v)'=u'\pm v'$. $\blacktriangleleft$

1.6. piezīme. 

Ar matemātiskās indukcijas metodi summas un starpības atvasināšanas formulas var vispārināt jebkuram galīgam funkciju skaitam.

1.5. teorēma. Ja funkcijas $u$ un $v$ ir diferencējamas punktā $x$, tad $(uv)$ arī ir diferencējama šajā punktā, pie tam

$$\boxed{(uv)'=u'v+uv'.}$$

$\blacktriangleright$ Sastādīsim funkcijas $(uv)$ pieaugumu punktā $x$

$$\begin{multline*} \Delta (uv)(x)=(uv)(x+\Delta x)-(uv)(x)=u(x+\Delta x)v(x+\Delt... ...lta x)-v(x)\right)=\\ =\Delta u(x)v(x+\Delta x)+u(x)\Delta v(x). \end{multline*}$$

Sastādīsim attiecību

$$\frac{\Delta(uv)(x)}{\Delta x}=\frac{\Delta u(x)}{\Delta x}v(x+\Delta x)+u(x)\frac{\Delta v(x)}{\Delta x}\/.$$

Šīs vienādības labajai pusei eksistē galīga robeža, kad $\Delta x\rightarrow 0$ (jo $u$ un $v$ ir diferencējamas punktā $x$ un $v$ ir nepārtraukta šajā punktā kā diferencējama funkcija), un tā ir vienāda ar $u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$. Tas nozīmē, ka kreisajai pusei eksistē galīga robeža, kas arī ir vienāda ar $u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$. Tādējādi $(uv)$ ir diferencējama punktā $x$, pie tam

$$(uv)'=u'v+uv'.\blacktriangleleft$$

1.7. piezīme. 

$\phantom{}\/$

1. Ar matemātiskās indukcijas metodi reizinājuma atvasināšanas formulu var vispārināt jebkuram galīgam funkciju skaitam. Piemēram,
   $$(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'.$$

2. Apvienojot šo triju teorēmu rezultātus, var teikt, ka jebkura galīga skaita diferencējamu funkciju lineārā kombinācija ir diferencējama funkcija, pie tam tās atvasinājums ir vienāds ar funkciju atvasinājumu lineāro kombināciju. Piemēram, divu funkciju gadījumā $\;(C_{1}u+C_2v)'=C_1u'+C_2v'\;$. Ja $\;C_2=0\;$, tad iegūsim, ka $\;(C_1u)'=C_1u'\;$, t.i., ka konstantu reizinātāju var iznest pirms atvasinājuma zīmes.

1.6. teorēma.  Ja funkcijas $\,u\,$ un $\,v\,$ ir diferencējamas punktā $\,x\,$ un $\,v(x)\neq 0\,$, tad $\left(\frac{u}{v}\right)$ arī ir diferencējama šajā punktā, pie tam

$$\boxed{\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}}.$$

Pierādīt patstāvīgi^1.7.

1.8. piemērs. 

Atvasināt šādas funkcijas:

1. $f(x)=\sin 2x-3\sqrt{x}+2$;
2. $f(x)=(x^{2}-1)\sin 2x$;
3. $f(x)=\frac{x^{2}+1}{\sqrt{x}}$.

$$\begin{multline*} 1.\;f'(x)=(\sin 2x-3\sqrt{x}+2)'=(\sin 2x)'-3(\sqrt{x})'+2'=\\ =2\cos 2x-3\frac{1}{2\sqrt{x}}+0=2\cos 2x-\frac{3}{2\sqrt{x}}\/; \end{multline*}$$

$$\begin{multline*} 2.\;f'(x)=((x^{2}-1)\sin 2x)'=(x^{2}-1)'\sin 2x+(x^{2}-1)(\si... ...=\\ =2x\sin 2x+(x^{2}-1)2\cos 2x=2(x\sin 2x+(x^{2}-1)\cos 2x)\/; \end{multline*}$$

$$\begin{multline*}3.\;f'(x)=\left(\frac{x^{2}+1}{\sqrt{x}}\right)'=\frac{(x^{2}+1... ... =\frac{4x^{2}-x^{2}-1}{2x\sqrt{x}}=\frac{3x^{2}-1}{2x\sqrt{x}}. \end{multline*}$$

1.8. piezīme. 

Izmantojot diferencēšanas likumus un funkcijas diferenciāļa definīciju, iegūst šādas formulas:

$$d(u\pm v)=du\pm dv,$$

$$d(uv)=vdu+udv,$$

$$d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{vdu-udv}{v^{2}},$$

kur $u$ un $v$ ir diferencējamas funkcijas.

Piemēram,

$$d(uv)=(uv)'dx=(u'v+uv')dx=vu'dx+uv'dx=vdu+udv.$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.5. Saliktas funkcijas atvasinājums Augstāk: 1. DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 1.3. Funkcijas diferenciālis un tā ģeometriskā