Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.4. Diferencēšanas likumi Augstāk: 1. DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 1.2. Funkcijas atvasinājuma ģeometriskā un fizikālā

1.3. Funkcijas diferenciālis un tā ģeometriskā interpretācija

Apskatīsim funkciju $f$, kas ir diferencējama punktā $x_0$. Kā tika noskaidrots 1.2. teorēmas pierādījumā, funkcijas pieaugumu šajā punktā var uzrakstīt šādi:

$$\Delta f(x_0)=f'(x_0)\Delta x+\alpha(\Delta x)\Delta x,\footnotemark$$

kur $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\alpha(\Delta x)=0$.

Kā redzams, funkcijas pieaugums ir divu saskaitāmo summa. Pirmais saskaitāmais $f'(x_0)\Delta x$ ir lineārs attiecībā pret $\Delta x$. Otrais saskaitāmais $\alpha(\Delta x)\Delta x$ ir augstākas kārtas bezgalīgi maza funkcija salīdzinājumā ar $\Delta x$, kad $\Delta x\rightarrow 0$. Funkcijas pieaugumā noteicošā loma ir pirmajam saskaitāmajam, tāpēc to uzskata par funkcijas pieauguma galveno daļu.

1.8. definīcija. Punktā $x_0$ diferencējamas funkcijas $f$ pieauguma šajā punktā galveno daļu, kas ir lineāra attiecībā pret $\Delta x$, sauc par šīs funkcijas diferenciāli punktā $x_0$ un apzīmē ar $df(x_0)$, t.i.,

$$df(x_0)=f'(x_0)\Delta x.$$

Mazām $\Delta x$ vērtībām funkcijas pieaugums $\Delta f(x_0)$ ir aptuveni vienāds ar funkcijas pieauguma galveno daļu $f'(x_0)\Delta x$, t.i., funkcijas diferenciāli $df(x_0)$. Tādējādi var rakstīt

$$\Delta f(x_0)\approx f'(x_0)\Delta x$$

jeb

$$\Delta f(x_0)\approx df(x_0).$$

Šo aptuveno vienādību praktiski izmanto funkcijas vērtību tuvinātā aprēķināšanā.

1.5. piezīme. 

$\phantom{}$

1. Ja funkcijas diferenciāļa definīcijā $x_0$ vietā raksta $x$ un ar to saprot funkcijas definīcijas apgabala patvaļīgu punktu, kurā šī funkcija ir diferencējama (kopas $D_1$ punkts), tad iegūst funkcijas diferenciāli $df(x)$, kas ir atkarīgs gan no $x$, gan no $\Delta x$. Šoreiz $df(x)=f'(x)\Delta x$.
2. Argumenta pieauguma $\;\Delta x\;$ vietā parasti raksta $\;dx\;$ (argumenta diferenciālis). Šādos apzīmējumos $\;df(x)=f'(x)dx\;$. Tātad $\;f'(x)=\frac{df(x)}{dx}\;$, kas ir gan funkcijas atvasinājuma apzīmējums, gan funkcijas diferenciāļa un argumenta diferenciāļa attiecība.

Apskatīsim dažus piemērus.

1.6. piemērs. 

Noteikt funkcijas $f(x)=x^{2}$ diferenciāli un izskaitļot tā vērtību punktā $x_0=1$.

Sastādīsim šīs funkcijas pieaugumu

$$\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)=(x+\Delta x)^{2}-x^{2}=2x\Delta x+\Delta x^{2}.$$

Acīmredzami, funkcijas pieauguma galvenā daļa ir $2x\Delta x$. Seko, ka $df(x)=2x\Delta x$. (Vienlaicīgi esam sameklējuši arī šīs funkcijas atvasinājumu, kas ir vienāds ar $2x$).

Visbeidzot $df(1)=2\cdot 1\cdot dx=2dx$.

1.7. piemērs. 

Izmantojot funkcijas diferenciāli, izskaitļot $\sqrt{16,8}$.

Izvēlēsimies funkciju $f(x)=\sqrt{x}$ un $x_0=16$, šoreiz $\Delta x=0,8$.

Izmantosim aptuveno vienādību $\Delta f(x_0)\approx df(x_0)$ jeb $f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+df(x_0)$. Funkcijas diferenciāli atradīsim kā funkcijas atvasinājuma un argumenta pieauguma reizinājumu, t.i., $df(x_0)=f'(x_0)\Delta x$. Tā kā $f'(x_0)=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}$ (skat. 1.2. piemēru), tad $f'(16)=\frac{1}{2\sqrt{16}}=\frac{1}{2\cdot 4}=\frac{1}{8}$ un $df(16)=\frac{1}{8}\cdot 0,8=0,1$. Tātad $\sqrt{16,8}\approx \sqrt{16}+0,1$ jeb $\sqrt{16,8}\approx 4,1$ (skat. ^1.6).

Lai noskaidrotu funkcijas $f$ diferenciāļa $df(x_0)$ ģeometrisko interpretāciju, koordinātu plaknē attēlosim šīs funkcijas grafiku (1.6. zīm.).

1.6. zīmējums

Punktā $M_0\left(x_0;f(x_0)\right)$ novilksim funkcijas grafikam pieskari. Apzīmēsim ar $\alpha$ leņķi, ko veido pieskare ar abscisu ass pozitīvo virzienu. Pieskares virziena koeficients $k_{p}=\tg \alpha=f'(x_0)$. Tā kā $df(x_0)=f'(x_0)\Delta x$, tad varam rakstīt

$$df(x_0)=\tg \alpha\cdot\Delta x=\tg \alpha\cdot NM_0=NP.$$

Tādējādi funkcijas $f$ diferenciālis punktā $x_0$ ir vienāds ar šīs funkcijas grafikam punktā $M_0\left(x_0;f(x_0)\right)$ novilktās pieskares ordinātas pieaugumu ( $df(x_0)=NP$). Tā arī ir funkcijas diferenciāļa ģeometriskā interpretācija.

Šajā zīmējumā funkcijas pieaugums punktā $x_0\;$ $\;\Delta f(x_0)=NM_1$ atšķiras no tās diferenciāļa $df(x_0)=NP$ par $PM_1$.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.4. Diferencēšanas likumi Augstāk: 1. DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 1.2. Funkcijas atvasinājuma ģeometriskā un fizikālā