Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.3. Funkcijas diferenciālis un tā ģeometriskā Augstāk: 1. DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 1.1. Funkcijas atvasinājums

1.2. Funkcijas atvasinājuma ģeometriskā un fizikālā interpretācija

Apskatīsim funkciju $f$, kas ir nepārtraukta punktā $x_0$. Šādas funkcijas grafiks attēlots 1.3. zīmējumā.

1.3. zīmējums

1.6. definīcija. Par funkcijas $f$ grafika pieskari punktā $M_0(x_0;f(x_0))$ sauc taisni, kas iet caur šo punktu un kas apmierina šādu nosacījumu: attālums $MN$ no grafika patvaļīga punkta $M(x;f(x))$ līdz šai taisnei ir pēc patikas mazs salīdzinot ar attālumu $M_0M$, kad $x$ tiecas uz $x_0$, t.i., $\frac{MN}{M_0M}\xrightarrow[x\rightarrow x_0]{}0$.

1.2. teorēma.  Ja funkcija $f$ - diferencējama punktā $x_0$, tad tās grafikam atbilstošajā punktā $M_0(x_0;f(x_0))$ eksistē pieskare, kuras vienādojums ir

$$\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).}$$ (1.1)

$\blacktriangleright$ Tā kā funkcija $f$ - diferencējama punktā $x_0$, tad tā ir nepārtraukta šajā punktā un eksistē galīgs

$$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}.$$

Saskaņā ar funkcijas robežu īpašībām $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\left(\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x }-f'(x_0)\right)=0$. Tas nozīmē, ka $\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}-f'(x_0)=\alpha(\Delta x)$, kur $\alpha$ - bezgalīgi maza funkcija, kad $\Delta x$ tiecas uz nulli. No šīs vienādības iegūsim, ka

$$\Delta f(x_0)=f'(x_0)\Delta x+\alpha(\Delta x)\Delta x\/,$$

citiem vārdiem,

$$f(x)-f(x_0)=f'(x_0)\Delta x+\alpha(\Delta x)\Delta x,$$ (1.2)

kur $x=x_0+\Delta x$ un $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\alpha(\Delta x)=0$.

Acīmredzami, (1.1) ir taisnes, kas iet caur punktu $M_0\left(x_0;f(x_0)\right)$, vienādojums. Atliek pierādīt, ka šī taisne ir funkcijas $f$ grafikam punktā $M_0$ konstruētā pieskare. Tam nolūkam ir jāparāda, ka izpildās nosacījums $\frac{MN}{M_0M}\xrightarrow[x\rightarrow x_0]{}0$ (1.3. zīm.). No vienādības (1.2) atņemsim (1.1) un iegūsim:

$$f(x)-y=\alpha(\Delta x)\Delta x.$$ (1.3)

Apskatīsim attiecību

$$\frac{MN}{M_0M}\leq \frac{MM'}{M_0M}\leq \frac{MM'}{\vert x-x_0\vert}=\frac{MM'}{\vert\Delta x\vert}.$$

Var saskatīt, ka $MM'=\vert y-f(x)\vert$ (situācijā, kas attēlota 1.3. zīmējumā, $MM'=y-f(x)$, jo punkta $M'$ ordināta ir $y$, bet punkta $M$ ordināta ir $f(x)$). Atsaucoties uz vienādību (1.3), var rakstīt, ka

$$MM'=\vert\alpha(\Delta x)\vert\cdot \vert\Delta x\vert\/.$$

Tāpēc

$$\frac{MN}{M_0M}\leq \frac{\vert\alpha(\Delta x)\vert\cdot \vert\Delta x\vert}{\vert\Delta x\vert}=\vert\alpha(\Delta x)\vert\/.$$

Acīmredzami, $\frac{MN}{M_0M}\xrightarrow[x\rightarrow x_0]{}0$, jo $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\vert\alpha(\Delta x)\vert=0$. Teorēma ir pierādīta. $\blacktriangleleft$

1.4. piezīme. 

Funkcijas $f$ grafikam punktā $M_0\left(x_0,f(x_0)\right)$ konstruētās pieskares virziena koeficients $k=\tg \alpha$ acīmredzami ir vienāds ar $f'(x_0)$, t.i., $k=f'(x_0)$. No šejienes arī izriet funkcijas atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Funkcijas $f$ atvasinājums punktā $x_0$ ir tās grafikam atbilstošajā punktā $M_0\left(x_0,f(x_0)\right)$ konstruētās pieskares virziena koeficients (1.3. zīm.).

Ja funkcijai $f$ punktā $x_0$ ir bezgalīgs atvasinājums, tad funkcijas grafikam atbilstošajā punktā $M_0\left(x_0,f(x_0)\right)$ arī eksistē pieskare un tā ir paralēla ordinātu asij; tās vienādojums ir $x=x_0$. Piemēram, funkcijai $f(x)=\sqrt[3]{x}$ punktā $x_0=0$ atvasinājums ir bezgalīgs. Tās grafikam atbilstošajā punktā $O(0,0)$ konstruētā pieskare ir ordinātu ass. Pieskares vienādojums ir $x=0$ (1.4. zīm.).

1.4. zīmējums

1.7. definīcija. Par funkcijas $f$ grafika normāli punktā $M_0\left(x_0;f(x_0)\right)$ sauc taisni, kas iet caur šo punktu un ir perpendikulāra šajā punktā konstruētajai pieskarei (1.5. zīm.).

1.5. zīmējums

Tātad punktā $M_0$ novilktā normāle un pieskare ir perpendikulāras un pēc divu taišņu perpendikularitātes nosacījuma

$$k_{n}=-\frac{1}{k_{p}}=-\frac{1}{f'(x_0)}.$$

Tādējādi normāles vienādojums ir

$$\boxed{y-f(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0).}$$

1.5. piemērs. 

Sastādīt funkcijas $f(x)=x^{2}$ grafikam punktā $M_0(1;1)$ novilktās pieskares un normāles vienādojumus.

Saskaņā ar rezultātu, kas tika iegūts 1.1. piemērā, $f'(1)=2$. Tādējādi $k_{p}=2$ un $k_{n}=-\frac{1}{2}$. Pieskares vienādojums ir $y-1=2(x-1)$ jeb $y=2x-1$. Normāles vienādojums $y-1=-\frac{1}{2}(x-1)$ jeb $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$.

Noskaidrosim funkcijas atvasinājuma fizikālo interpretāciju. Pieņemsim, ka materiālais punkts kustas nevienmērīgi pa taisni. Kustības likums ir $x=x(t)$. Laika intervālā $[t;t+\Delta t]$ materiālā punkta pārvietojums ir $\Delta x=x(t+\Delta t)-x(t)$. Kustības vidējo ātrumu $v_{vid.}$ intervālā $[t;t+\Delta t]$ definē kā pārvietojuma attiecību pret kustības laiku, t.i.,

$$v_{vid.}=\frac{\Delta x}{\Delta t}.$$

Lai raksturotu kustību laika momentā $t$, izmanto momentānā ātruma jēdzienu. Vidējā ātruma $v_{vid.}$ robežu, kad $\Delta t\rightarrow 0$, sauc par momentāno ātrumu laika momentā $t$, t.i.,

$$v=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}v_{vid.}= \lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=x'(t).$$

Tādējādi funkcijas atvasinājuma fizikālā (mehāniskā) interpretācija ir momentānais ātrums taisnvirziena kustībā.

Pēc analoģijas ar kustībā esošā materiālā punkta vidējo un momentāno ātrumu funkcijas $f$ pieauguma punktā $x_0$ un argumenta pieauguma attiecību $\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}$ sauc par šīs funkcijas maiņas vidējo ātrumu intervālā $[x_0;x_0+\Delta x]$. Funkcijas maiņas vidējā ātruma robežu, argumenta pieaugumam tiecoties uz nulli, t.i., $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}$, vēl sauc par funkcijas maiņas ātrumu punktā $x_0$. Tādējādi funkcijas $f$ atvasinājums punktā $x_0$ izsaka funkcijas maiņas ātrumu šajā punktā.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.3. Funkcijas diferenciālis un tā ģeometriskā Augstāk: 1. DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 1.1. Funkcijas atvasinājums