Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.2. Funkcijas atvasinājuma ģeometriskā un fizikālā Augstāk: 1. DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 1. DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS

1.1. Funkcijas atvasinājums

Apskatīsim funkciju $f$, kas definēta punkta $x_{0}$ apkārtnē.

1.1. definīcija. Par funkcijas $f$ atvasinājumu punktā $x_{0}$ sauc šādu robežu^1.1:

$$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f(x_{0})}{\Delta x}.$$

Funkcijas $f$ atvasinājumu punktā $x_{0}$ apzīmē ar $f'(x_{0})$ (lasa: "ef prim no $x_{0}$"). Saskaņā ar šo definīciju $f'(x_{0})=\lim\limits_{{\Delta x\rightarrow 0}}\frac{\Delta f(x_{0})}{\Delta x}$.

1.2. definīcija. Funkciju, kurai punktā $x_{0}$ eksistē galīgs atvasinājums, sauc par diferencējamu^1.2 jeb atvasināmu šajā punktā.

Pieņemsim, ka $D_{1}$ ir punktu kopa^1.3, kurā funkcija $f$ ir diferencējama. Katram skaitlim $x_{0}\in D_{1}$ piekārtojot skaitli $f^{\prime}(x_0)$, iegūsim funkciju, kas definēta kopā $D_1$. Šo funkciju sauc par funkcijas $f$ atvasināto funkciju jeb atvasinājumu un apzīmē ar $f'$ vai $\frac{df}{dx}$^1.4 (attiecīgi lasa: "ef prim", "de ef pēc de iks"). Lai, izmantojot atvasinājuma definīciju, noteiktu funkcijas $f$ atvasinājumu punktā $x_0$, rīkojas šādi.

1. Izvēlas tādu argumenta pieaugumu $\Delta x$, ka $x_0+\Delta x\in D(f)$ un sastāda tam atbilstošo funkcijas pieaugumu punktā $x_0$, t.i., $\Delta f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$;
2. Sastāda funkcijas pieauguma punktā $x_0$ attiecību pret argumenta pieaugumu, t.i., $\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}$.
3. Aprēķina attiecības $\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}$ robežu, kad argumenta pieaugums $\Delta x\rightarrow 0$.

1.1. piezīme. 

$\phantom{a}$

1. Ja šādai attiecībai $\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}$ robeža neeksistē, tad punktā $x_0$ atvasinājums neeksistē (funkcija nav diferencējama punktā $x_0$).
2. Ja $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}=+\infty$ vai $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}=-\infty$, tad saka, ka punktā $x_0$ funkcijai $f$ ir bezgalīgs atvasinājums, un to pieraksta šādi: $f'(x_0)=+\infty$ vai $f'(x_0)=-\infty$ (arī šoreiz funkcija nav diferencējama punktā $x_0$).
3. Ja punkts nav dots (šoreiz ir jāatrod funkcijas atvasinājums, kas ir jauna kopā $D_1$ definēta funkcija), tad izvēlas funkcijas $f$ definīcijas apgabala patvaļīgu iekšējo punktu $x_{0}$ un, rīkojoties pēc iepriekš minētās shēmas, atrod $f'(x_0)$. Visbeidzot, lai iegūtu atvasinājumu, $x_0$ vietā raksta $x$, un ar to saprot patvaļīgu kopas $D_1$ punktu.

1.1. piemērs. 

Noteikt funkcijas $f(x)=x^{2}$ atvasinājumu punktā $x_0=1$.

Rīkosimies pēc iepriekš minētās shēmas.

$$\begin{multline*} 1.\;\Delta f(1)=f(1+\Delta x)-f(1)=(1+\Delta x)^{2}-1^{2}=2\De... ...ta x}= \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}(2+\Delta x)=2.\hfill} \end{multline*}$$

Tādējādi $f'(1)=2$.

1.2. piemērs. 

Noteikt funkcijas $f(x)=\sqrt{x}$, atvasinājumu punktā $x_0$ $(x_0\neq 0)$.

$$\begin{multline*} 1.\;\Delta f(x_{0})=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=\sqrt{x_0+\Delta x}... ...}{\sqrt{x_0+\Delta x }+\sqrt{x_0}}=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}.\hfill} \end{multline*}$$

Tādējādi $f'(x_0)=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}$.

1.3. piemērs. 

Noteikt funkcijas $f(x)=\sin 2x$ atvasinājumu.

$$\begin{multline*} \text{\footnotesize {1.\;Izvēlēsimies patvaļīgu $x_0\in \mathb... ...a x)\right)=}\\ =2\cdot 1\cdot\cos 2x_0=2\cos 2x_0.\qquad\qquad \end{multline*}$$

Tādējādi $f'(x_0)=2\cos 2x_0$.

Visbeidzot $f'(x)=2\cos 2x$.

1.4. piemērs. 

Noteikt funkcijas $f(x)=\vert x\vert$ atvasinājumu.

Izvēlēsimies $x_0<0$ un tādu $\Delta x$, ka $x_0+\Delta x<0$.

$$\begin{multline*} 1.\;\Delta f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=\vert x_0+\Delta x\ve... ...0)}{\Delta x}= \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}(-1)=-1\hfill} \end{multline*}$$

Tādējādi $f'(x)=-1$

Visbeidzot $f'(x)=-1$, ja $x<0$. Analogi $f'(x)=1$, ja $x>0$. Acīmredzami $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f(0) }{\Delta x}$ neeksistē, jo

$$\lim\limits_{\substack{\Delta x\rightarrow 0\\ \Delta x<0}}\frac... ...s_{\substack{\Delta x\rightarrow 0\\ \Delta x>0}}\frac{\Delta f(0)}{\Delta x}.$$

Tādējādi $f'(0)$ - neeksistē, citiem vārdiem, funkcija punktā $x_0=0$ nav diferencējama.

Tādējādi funkcijas $f(x)=\vert x\vert$ (1.1. zīm.) atvasinājums ir definēts ar formulu

$$f'(x)=\left\{\begin{array}{rll} -1\/, & {\rm ja} & x<0\/, \\ 1\/, & {\rm ja} & x>0\/.\end{array}\right.$$

1.1. zīmējums

1.2. zīmējums

Pēc analoģijas ar funkcijas vienpusējām robežām tiek definēti arī funkcijas vienpusējie atvasinājumi.

1.3. definīcija. Par funkcijas $f$ atvasinājumu no labās (kreisās) puses punktā $x_0$ sauc attiecības $\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}$ robežu, kad $\Delta x$ tiecas uz nulli no labās (kreisās) puses, pieņemot, ka šāda robeža eksistē.

Funkcijas atvasinājumu no labās puses punktā $x_0$ apzīmē ar simbolu $f'(x_0+0)$, bet no kreisās puses - ar simbolu $f'(x_0-0)$. Tādējādi

$$f'(x_0+0)=\lim\limits_{\substack{\Delta x\rightarrow 0\\ \Delta x>0}}\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}$$

un

$$f'(x_0-0)=\lim\limits_{\substack{\Delta x\rightarrow 0\\ \Delta x<0}}\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}\/.$$

1.2. piezīme. 

No funkcijas robežas un tās vienpusējo robežu definīcijām izriet, ka atvasinājums $f'(x_0)$ eksistē tad un tikai tad, ja punktā $x_0$ eksistē vienādi funkcijas $f$ vienpusējie atvasinājumi.

Piemēram, funkcijai $f(x)=\vert x\vert$ punktā $x_0=0$ eksistē vienpusējie atvasinājumi, t.i., $f'(0-0)=-1$, $f'(0+0)=1$, bet tie nav vienādi. Tātad $f'(0)$ - neeksistē.

Sakaru starp diferencējamu un nepārtrauktu funkciju izsaka šāda teorēma.

1.1. teorēma. Ja funkcija $f$ ir diferencējama punktā $x_0$, tad tā ir nepārtraukta šajā punktā.

$\blacktriangleright$ Saskaņā ar doto eksistē galīgs $f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f(x_0) }{\Delta x}$. Uzrakstīsim acīmredzamu vienādību $\Delta f(x_0)=\frac{\Delta f(x_0) }{\Delta x}\Delta x$ $(\Delta x\neq 0)$. Šajā vienādībā pāriesim pie robežas, kad $\Delta x$ tiecas uz nulli. Iegūsim, ka

$$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta f(x_0)=\lim\limits_{\De... ...tarrow 0} \left(\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}\Delta x\right)=f'(x_0)\cdot 0=0.$$

Seko, ka funkcija $f$ ir nepārtraukta punktā $x_0$. $\blacktriangleleft$

1.3. piezīme. 

Apgrieztā teorēma nav spēkā, t.i., vispārīgā gadījumā no funkcijas nepārtrauktības kādā punktā neseko tās diferencējamība šajā punktā. Piemēram, funkcija $f(x)=\vert x\vert$ ir nepārtraukta punktā $x_0=0$, bet atvasinājums šajā punktā neeksistē. Apskatīsim vēl vienu piemēru. Funkcija $f(x)=\sqrt[3]{x}$ ir nepārtraukta punktā $x_0=0$, bet šajā punktā tā nav diferencējama, jo punktā $x_0=0$ tai neeksistē galīgs atvasinājums. Šoreiz $f'(0)=+\infty$.

1.4. definīcija. Funkciju sauc par diferencējamu kopā $D$, ja tā ir diferencējama šīs kopas katrā punktā.

1.5. definīcija. Funkciju, kas ir diferencējama savā definīcijas apgabalā, sauc par diferencējamu funkciju.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.2. Funkcijas atvasinājuma ģeometriskā un fizikālā Augstāk: 1. DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 1. DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS