Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.6. Apvērstas funkcijas diferencēšana Augstāk: 1. DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 1.4. Diferencēšanas likumi

1.5. Saliktas funkcijas atvasinājums

Apskatīsim saliktu funkciju $f(\varphi (x))=F(x)$.

1.7. teorēma.  Ja funkcija $\varphi$ ir diferencējama punktā $x$ un funkcija $f$ ir diferencējama atbilstošajā punktā $u=\varphi (x)$, tad salikta funkcija $F$ ir diferencējama punktā $x$, pie tam

$$\boxed{F'(x)=f'(u)\varphi'(x)\/.}$$

$\blacktriangleright$ Tā kā funkcija $f$ ir diferencējama punktā $u$, tad tās pieaugumu šajā punktā var uzrakstīt šādi:

$$\Delta f(u)=f'(u)\Delta u+\alpha (\Delta u)\Delta u,$$

kur $\lim\limits_{\Delta u\rightarrow 0}\alpha (\Delta u)=0$.

Izdalīsim vienādības abas puses ar $\Delta x\neq 0$.

$$\frac{\Delta f(u)}{\Delta x}=f'(u)\frac{\Delta u}{\Delta x}+ \alpha (\Delta u)\frac{\Delta u}{\Delta x}.$$

Tā kā $u=\varphi (x)$ un $f(\varphi (x))=F(x)$, tad šīs vienādības kreisajā pusē var rakstt $\frac{\Delta F(x)}{\Delta x}$.

Iegūsim

$$\frac{\Delta F(x)}{\Delta x}=f'(u)\frac{\Delta u}{\Delta x}+\alpha (\Delta u)\frac{\Delta u}{\Delta x}\/.$$ (1.4)

Tā kā funkcija $\varphi$ ir diferencējama punktā $x$, tad eksistē galīga robeža

$$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta u}{\Delta x}=\varphi'(x)$$

un funkcija $\varphi$ ir nepārtraukta punktā $x$. Tāpēc $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta u=0$ jeb $\Delta u\rightarrow 0$, ja $\Delta x\rightarrow 0$.

Vienādības (1.4) labajai pusei eksistē galīga robeža, kad $\Delta u\rightarrow 0$, un tā ir vienāda ar

$$f'(u)\cdot \lim\limits_{\Delta x\rightarrow o}\frac{\Delta u}{\De... ...rac{\Delta u}{\Delta x}=f'(u)\varphi'(x)+0\cdot \varphi'(x)=f'(u)\varphi'(x)\/.$$

Tātad vienādības (1.4) kreisajai pusei eksistē galīga robeža un tā ir vienāda ar $f'(u)\varphi'(x)$. Seko, ka funkcija $F$ ir diferencējama punktā $x$, pie tam $F'(x)=f'(u)\varphi'(x)$. $\blacktriangleleft$

1.9. piemērs. 

Atvasināt funkciju $f(x)=\left(\sqrt{x}-2\right)^{2}$.

$$\begin{multline*} f'(x)=\left(\left(\sqrt{x}-2\right)^{2}\right)'=2(\sqrt{x}-2)(... ...}}-0\right)=1-\frac{1}{\sqrt{x}}= \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\/. \end{multline*}$$

1.9. piezīme. 

$\phantom{}$

1. Teorēmā minēto formulu bieži nākas izmantot atkārtoti (ja starpargumentu skaits ir lielāks).
2. Lietderīgi ievērot, ka saliktas funkcijas atvasināšana notiek pretējā virzienā nekā šīs funkcijas vērtības aprēķināšana. Piemēram, aplūkotajā piemērā aprēķinot funkcijas vērtību, vispirms atrod $\sqrt{x}-2$ un tad iegūto skaitli kāpina kvadrātā. Turpretī, atvasinot funkciju, rīkojas pretējā secībā - vispirms atvasina pakāpi, ņemot vērā to, kādu izteiksmi kāpina, un tikai tad atvasina pakāpes bāzi $\sqrt{x}-2$.
3. Ja $\;f\;$ ir neatkarīgā mainīgā $\;x\;$ funkcija, tad tās diferenciālis $\;df(x)=f'(x)dx\;$, kur $dx=\Delta x$. Turpretī, ja $x$ ir neatkarīgā mainīgā $t$ funkcija, t.i., $x=\varphi(t)$, tad
   $$df\bigl(\varphi(t)\bigr)=\Bigl[f\bigl(\varphi(t)\bigr)\Bigr]'dt=f'(x)\varphi'(t)dt\/.$$
   Tā kā $\varphi(t)=x$ un $\varphi'(t)dt=dx$, tad var rakstīt, ka arī šoreiz $df(x)=f'(x)dx$. Tādējādi funkcijas diferenciālim ir tāda pati forma kā gadījumā, kad $x$ ir neatkarīgais mainīgais. Citiem vārdiem, funkcijas diferenciāļa forma nav atkarīga no tā, vai funkcijas arguments ir neatkarīgais mainīgais vai cita argumenta funkcija. Šo īpašību sauc par diferenciāļa formas invarianci (nemainīgumu).

Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.6. Apvērstas funkcijas diferencēšana Augstāk: 1. DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 1.4. Diferencēšanas likumi