Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.7. Elementāro pamatfunkciju atvasinājumi Augstāk: 1. DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 1.5. Saliktas funkcijas atvasinājums

1.6. Apvērstas funkcijas diferencēšana

1.8. teorēma.  Ja funkcija $\,f\,$ ir stingri monotona un nepārtraukta intervālā $\;(a,b)\;$, ir diferencējama šī intervāla punktā $\,x_0\,$, pie tam $\;f'(x_0)\neq 0$, tad tās apvērstā funkcija $g$ ir diferencējama atbilstošajā punktā $y_0=f(x_0)$, pie tam

$$\boxed{g'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}\;.}$$

$\blacktriangleright$ Tā kā funkcija $f$ ir stingri monotona un nepārtraukta intervālā $(a,b)$, tad tai eksistē apvērstā funkcija $g$, kas arī ir nepārtraukta atbilstošajā intervālā.

Izvēlēsimies argumenta $x$ pieaugumu $\Delta x$ un tam atbilstošo funkcijas $f$ pieaugumu punktā $x_0$ apzīmēsim ar $\Delta y=\Delta f(x_0)$. Sastādīsim funkcijas $x=g(y)$ pieaugumu atbilstošajā punktā $y_0=f(x_0)$, kas atbilst argumenta $y$ pieaugumam $\Delta y$: $\Delta g(y_0)=g(y_0+\Delta y)-g(y_0)$.

Izveidosim šādu attiecību

$$\frac{\Delta g(y_0)}{\Delta y}=\frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta g(y_0)}}= \frac{1}{\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}}\/.$$

Šīs vienādības labajai pusei eksistē galīga robeža, kad $\Delta x\rightarrow 0$ (jo funkcija $f$ ir diferencējama punktā $x_0$ un $f'(x_0)\neq 0$), un šī robeža ir vienāda ar $\frac{1}{f'(x_0)}$. Tas nozīmē, ka arī kreisajai pusei eksistē galīga robeža, kas ir vienāda ar $\frac{1}{f'(x_0)}$. Tādējādi funkcija $g$ ir diferencējama atbilstošajā punktā $y_0$, pie tam $g'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$ (Tā kā funkcijas $f$ un $g$ ir nepārtrauktas atbilstoši punktos $x_0$ un $y_0$, tad $\Delta y\rightarrow 0$, kad $\Delta x\rightarrow 0$, un otrādi). $\blacktriangleleft$

1.10. piemērs. 

Atvasināt funkciju $f(x)=\arcsin x$.

$$f'(x)=(\arcsin x)'=\frac{1}{(\sin y)'}=\frac{1}{\cos y}= \frac{1}{\sqrt{1-\sin^{2}y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\/.$$

(Izmantojām, ka $\cos y>0$, jo šoreiz $y=\arcsin x\in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$).

Matemātika DU TSC
Nākamais: 1.7. Elementāro pamatfunkciju atvasinājumi Augstāk: 1. DIFERENCĒJAMAS FUNKCIJAS Iepriekšējais: 1.5. Saliktas funkcijas atvasinājums