Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.5. Funkcijas vislielākās un vismazākās vērtības Augstāk: 3. ATVASINĀJUMA LIETOJUMI FUNKCIJU PĒTĪŠANĀ Iepriekšējais: 3.3. Funkcijas ekstrēmi un to nepieciešamais

3.4. Funkcijas ekstrēma pietiekamie nosacījumi

3.5. teorēma.  (Funkcijas ekstrēma pietiekamais nosacījums, izmantojot pirmās kārtas atvasinājumu).

Ja funkcija $f$ ir nepārtraukta punktā $x_0$, ir diferencējama šī punkta kaut kādā apkārtnē, izņemot varbūt pašu šo punktu, un tās atvasinājums, argumentam ejot caur punktu $x_0$, maina savu zīmi, tad $x_0$ ir funkcijas ekstrēma punkts. Pie tam, ja atvasinājums pa kreisi no $x_0$ ir pozitīvs, pa labi - negatīvs, tad $x_0$ ir funkcijas maksimuma punkts, bet, ja atvasinājums pa kreisi no $x_0$ ir negatīvs, pa labi - pozitīvs, tad $x_0$ ir funkcijas minimuma punkts.

$\blacktriangleright$ Pieņemsim, ka funkcijas atvasinājums pa kreisi no $x_0$ ir pozitīvs. Tas nozīmē, ka pa kreisi no $x_0$ funkcija ir augoša. Tāpēc visiem $x<x_0$ (un kas pieder $x_0$ minētajai apkārtnei) $f(x)<f(x_0)$. Pa labi no $x_0$ funkcijas atvasinājums ir negatīvs. Tāpēc šeit funkcija ir dilstoša un $x>x_0$ (un kas pieder $x_0$ minētajai apkārtnei) $f(x)<f(x_0)$. Tādējādi $x_0$ ir funkcijas maksimuma punkts (3.5. zīm.). Analogi apskata otru gadījumu, kad argumentam ejot caur $x_0$ (argumenta augšanas ``virzienā"), atvasinājums maina zīmi no $\lq\lq -''$ uz $\lq\lq +''$ (3.6. zīm.). $\blacktriangleleft$

3.5. zīmējums

3.6. zīmējums

3.3. piezīme. 

Ja, argumentam ejot caur kritisko punktu $x_0$, atvasinājums zīmi nemaina, tad $x_0$ nav funkcijas ekstrēma punkts.

Formulēsim šādu kārtulu (funkcijas ekstrēma noteikšanas pirmā kārtula).

Lai atrastu funkcijas ekstrēmus, ir jāveic šādas darbības.

1. Jāatrod funkcijas kritiskie punkti.
2. Jāizpēta atvasinājuma zīme kritisko punktu apkārtnēs. Ja, argumentam ejot caur kādu kritisko punktu, atvasinājuma zīme mainās no $\lq\lq +''$ uz $\lq\lq -''$, tad šajā punktā funkcijai ir maksimums, bet, ja atvasinājuma zīme mainās no $\lq\lq -''$ uz $\lq\lq +''$, tad - minimums. Ja atvasinājuma zīme nemainās, tad funkcijai šajā punktā ekstrēma nav.
3. Jāprēķina funkcijas vērtības ekstrēmu punktos.

3.3. piemērs. 

Atrast funkcijas $f(x)=3x^5-5x^3+5$ ekstrēmus.

1. Lai atrastu funkcijas kritiskos punktus, atradīsim
   $$f'(x)=15x^4-15x^2=15x^2(x^2-1)=15x^2(x-1)(x+1)\/.$$
   Kritiskie punkti (šoreiz stacionārie punkti) ir $-1,0$ un $1$.
2. Atvasinājuma vērtību zīmes atzīmēsim uz skaitļu taisnes (3.7. zīm.).

   

   3.7. zīmējums
   Funkcijas maksimuma punkts ir $x=-1$, bet minimuma punkts ir $x=1$. Punktā $x=0$ ekstrēma nav.
3. Aprēķināsim funkcijas vērtības ekstrēmu punktos.
   $$\max f(x)=f(-1)=7;\quad \min f(x)=f(1)=3\/.$$
   Vienlaicīgi esam noteikuši arī funkcijas monotonitātes intervālus. Augšanas intervāli ir $(-\infty;-1)$ un $(1;+\infty)$, bet dilšanas intervāls - $(-1;1)$. Funkcijas grafiks attēlots 3.8. zīmējumā.

3.8. zīmējums

3.4. piemērs. 

Atrast funkcijas $f(x)=x-3\sqrt[3]{x}$ ekstrēmus.

1. $f'(x)=1-3\cdot\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}= 1-\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}=\frac{\sqrt[3]{x^2}-1}{\sqrt[3]{x^2}}$. Kritiskie punkti ir $-1,0$ un $1$.
2. Atvasinājuma vērtību zīmes atzīmēsim uz skaitļu taisnes (3.9. zīm.). Punktā $x=0$ funkcija nav diferencējama.

   

   3.9. zīmējums
   Funkcijas maksimuma punkts ir $x=-1$, bet minimuma punkts ir $x=1$. Punktā $x=0$ ekstrēma nav.
3. $\max f(x)=f(-1)=2;\quad \min f(x)=f(1)=-2$.
   Funkcija aug intervālos $(-\infty;-1)$ un $(1;+\infty)$, bet dilst intervālā $(-1,1)$. Funkcijas grafiks attēlots 3.10. zīmējumā.

3.10. zīmējums

3.5. piemērs. 

Atrast funkcijas $f(x)=\frac{x}{8}+\frac{2}{x}$ ekstrēmus.

Funkcija nav definēta punktā $x=0$.

1. $f'(x)=\frac{1}{8}-\frac{2}{x^2}=\frac{x^2-16}{8x^2}=\frac{(x+4)(x-4)}{8x^2}$.
   Kritiskie punkti ir $-4$ un $4$. (Punkts $x=0$ nevar būt par kritisko punktu, jo tas nepieder funkcijas definīcijas apgabalam).
2. Uz skaitļu taisnes atzīmēsim atvasinājumu vērtību zīmes (uz skaitļu taisnes ir jātzīmē arī punkts $x=0$) (3.11. zīm.).

   

   3.11. zīmējums
   Funkcijas maksimuma punkts ir $x=-4$, bet minimuma punkts ir $x=4$.
3. $\max f(x)=f(-4)=-1;\quad \min f(x)=f(4)=1$.
   Funkcija aug intervālos $(-\infty;-4)$ un $(4;+\infty)$, bet dilst intervālos $(-4;0)$ un $(0;4)$.

3.6. teorēma.  (Funkcijas ekstrēma pietiekamais nosacījums, izmantojot otrās kārtas atvasinājumu).

Ja funkcija $f$ ir diferencējama stacionāra punkta $x_0$ apkārtnē un šajā punktā eksistē galīgs $f''(x_0)\neq 0$, tad $x_0$ ir funkcijas ekstrēma punkts. Pie tam, ja $\;f''(x_0)<0$, tad $\;x_0$ ir maksimuma punkts, bet, ja $\;f''(x_0)>0$, tad - minimuma punkts.

$\blacktriangleright$ Tā kā $x_0$ ir funkcijas stacionārais punkts, tad $f'(x_0)=0$. Punktā $x_0$ eksistē

$$f''(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}= \lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{x-x_0}\neq 0\/.$$

Pieņemsim, ka $f''(x_0)<0$ jeb

$$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{x-x_0}<0\/.$$

Punkta $x_0$ kaut kādā apkārtnē funkcija saglabā savas robežas zīmi, t.i.,

$$\frac{f'(x)}{x-x_0}<0\/.$$

No šīs nevienādības seko, ka visiem $x<x_0$ (un kas pieder minētajai apkārtnei) $f'(x)>0$, bet $x>x_0$ izpildās $f'(x)<0$. Tādējādi, argumentam ejot caur punktu $x_0$, atvasinājums maina zīmi no $\lq\lq +''$ uz $\lq\lq -''$. Punkts $x_0$ ir funkcijas maksimuma punkts.

Analogi apskata gadījumu, kad $f''(x_0)>0$. $\blacktriangleleft$

3.4. piezīme. 

Izmantojot otrās kārtas atvasinājumu, uz ekstrēmu drīkst pētīt tikai funkcijas stacionāros punktus. Pie tam šis nosacījums nav pielietojams tajos stacionārajos punktos, kuros otrās kārtas atvasinājums ir nulle, bezgalība vai vispār neeksistē. Šādos gadījumos ir jālieto pirmā kārtula.

Formulēsim funkcijas ekstrēma noteikšanas otro kārtulu.

Lai atrastu funkcijas ekstrēmus, ir jāveic šādas darbības.

1. Jāatrod funkcijas stacionārie punkti.
2. Jāatrod $f''(x)$ un jānosaka tā skaitliskā vērtība katrā stacionārajā punktā $x_0$ (protams, ja tāda eksistē). Ja $f''(x_0)<0$, tad $x_0$ ir maksimuma punkts, bet ja $f''(x_0)>0$, tad $x_0$ - minimuma punkts.
3. Jāaprēķina funkcijas vērtības ekstrēma punktos.

3.6. piemērs. 

Atrast funkcijas $f(x)=3x^5-5x^3+5$ ekstrēmus.

1. $f'(x)=15x^2(x^2-1)$. Stacionārie punkti ir $-1,0$ un $1$.
2. $f''(x)=60x^3-30x;\quad f''(-1)=-30<0$. Punkts $x=-1$ ir funkcijas maksimuma punkts. $f''(0)=0$. Otrā kārtula šī punkta raksturu nenosaka. Punkts $x=0$ nav funkcijas ekstrēma punkts (skat. 3.3. piemēru). $f''(1)=30>0$. Punkts $x=1$ ir funkcijas minimuma punkts.
3. $\max f(x)=f(-1)=7;\quad \min f(x)=f(-1)=3$.
   Funkcijas grafiks attēlots 3.8. zīmējumā.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.5. Funkcijas vislielākās un vismazākās vērtības Augstāk: 3. ATVASINĀJUMA LIETOJUMI FUNKCIJU PĒTĪŠANĀ Iepriekšējais: 3.3. Funkcijas ekstrēmi un to nepieciešamais