Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.6. Funkcijas grafika ieliekums un izliekums Augstāk: 3. ATVASINĀJUMA LIETOJUMI FUNKCIJU PĒTĪŠANĀ Iepriekšējais: 3.4. Funkcijas ekstrēma pietiekamie nosacījumi

3.5. Funkcijas vislielākās un vismazākās vērtības atrašana

Apskatīsim slēgtā intervālā $[a;b]$ nepārtrauktu funkciju $f$. Saskaņā ar Veierštrāsa II teorēmu tā sasniedz šajā intervālā savu vismazāko un vislielāko vērtību. Šīs vērtības funkcija sasniedz ekstrēma punktos vai intervāla galapunktos. Lai atrastu funkcijas vismazāko un vislielāko vrtību, nav obligāti noteikt ekstrēma punktus, pietiek atrast funkcijas kritiskos punktus.

Lai slēgtā intervālā $[a;b]$ atrastu nepārtrauktas funkcijas $f$ vislielāko un vismazāko vērtību, ir jāizdara šādas darbības.

1. Jāatrod šīs funkcijas visi kritiskie punkti, kas atrodas intervālā $[a;b]$.
2. Jāaprēķina funkcijas vērtības kritiskajos punktos.
3. Jāaprēķina funkcijas vērtības intervāla galapunktos.
4. No iegūtajām vērtībām jāizraugās vislielākais un vismazākais skaitlis.

3.5. piezīme. 

Funkcijas vislielāko vērtību intervālā $[a;b]$ apzīmē $\max\limits_{[a;b]}f(x)$, bet vismazāko vērtību - $\min\limits_{[a;b]}f(x)$.

3.7. piemērs. 

Atrast funkcijas $f(x)=x^3-3x+3$ vislielāko un vismazāko vērtību intervālā $[0;2]$.

1. Atrodam $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$.
   Kritiskie punkti ir $-1$ un $1$. Intervālam $[0;2]$ pieder tikai viens kritiskais punkts $1$.
2. Izskaitļojam $f(1)=1$.
3. Izskaitļojam $f(0)=3$ un $f(2)=5$.
4. $\min\limits_{[0;2]}f(x)=f(1)=1,\quad \max\limits_{[0;2]}f(x)=f(2)=5$.

3.6. piezīme. 

$\phantom{}$

1. Ja funkcija ir nepārtraukta vaļējā intervālā, tad vismazāko vai vislielāko vērtību tā šajā intervālā var arī nesasniegt.
2. Ja funkcija ir nepārtraukta vaļējā intervālā un šajā intervālā tai ir vienīgais ekstrēma punkts, tad šajā punktā funkcija sasniedz vismazāko vērtību, ja tas ir minimuma punkts, un vislielāko vērtību, ja tas ir maksimuma punkts.

3.8. piemērs. 

Atrast funkcijas $f(x)=2x^3+3x^2-1$ vislielāko un vismazāko vērtību intervālā $[1;3)$.

$f'(x)=6x^2+6x=6x(x+1)$.

Kritiskie punkti 0 un $-1$ nepieder šim intervālam. Atliek izskaitļot tikai $f(1)=4$. Acīmredzami funkcija ir augoša intervālā, jo $f'(x)>0$.

Tāpēc $\min\limits_{[1;3)}f(x)=f(1)=4$. Vislielāko vērtību funkcija šajā intervālā nesasniedz.

3.9. piemērs. 

Taisnstūrveida zemes gabala viena mala piekļaujas fabrikas sienai (3.12. zīm.). Ar $l$ metru garu stieples gabalu ir jānorobežo šis zemes gabals tā, lai norobežotajam taisnstūrim būtu iespējami lielāks laukums.

3.12. zīmējums

Ja taisnstūra vienas malas garumu apzīmē ar $x\left(0\leq x\leq \frac{l}{2}\right)$, tad otras malas garums ir $l-2x$. Taisnstūra laukums $S=x(l-2x)=xl-2x^2$. Jāatrod funkcijas $S(x)=xl-2x^2$ vislielākā vērtība intervālā $\left[0;\frac{l}{2}\right]$.

1. $S'(x)=l-4x$. Kritiskais punkts ir $x=\frac{l}{4}$ un tas pieder intervālam $\left[0;\frac{l}{2}\right]$.
2. Izskaitļojam $S\left(\frac{l}{4}\right)=\frac{l^2}{8}$.
3. Izskaitļojam $S(0)=0;\quad S\left(\frac{l}{2}\right)=0$.
4. $\max\limits_{\left[0;\frac{l}{2}\right]}S(x)=S\left(\frac{l}{4}\right)=\frac{l^2}{8}$.

Taisnstūra malas ir $x=\frac{l}{4}$ un $l-2\cdot\frac{l}{4}=\frac{l}{2}$ metrus garas.

3.10. piemērs. 

Jāizgatavo cilindriskas formas slēgta tvertne, kuras tilpums ir $V$. Jānosaka tvertnes izmēri, lai materiāla patēriņš būtu mazākais.

Apzīmēsim tvertnes rādiusu ar $R$ un augstumu ar $H$. Tā kā cilindra tilpums ir $V=\pi R^2H$, tad varam izteikt $H=\frac{V}{\pi R^2}$ un ievietot cilindra pilnās virsmas formulā

$$S=2\pi RH+2\pi R^2\/.$$

Iegūsim

$$S=2\pi R\frac{V}{\pi R^2}+2\pi R^2=\frac{2V}{R}+2\pi R^2\/.$$

Jāatrod funkcijas $\;S(R)=\frac{2V}{R}+2\pi R^2\;$ vismazākā vērtība intervālā $\;0<R<+\infty$.

$$S'(R)=-\frac{2V}{R^2}+4\pi R=\frac{4\pi R^3-2V}{R^2}\/.$$

Vienīgais kritiskais punkts $R=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$ pieder šim intervālam. Atrodam $S''(R)=\frac{4V}{R^3}+4\pi$ un novērtējam tā zīmi kritiskajā punktā $R=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$. Acīmredzami $S''\left(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\right)>0$, tāpēc punktā $S=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$ funkcijai $S(R)$ ir minimums. Šis punkts ir vienīgais ekstrēma punkts vaļējā intervālā $(0;+\infty)$, tāpēc funkcija šajā punktā sasniedz vismazāko vērtību.

Atrodam

$$H=\frac{V}{\pi\left(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\right)^2}=2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\/.$$

Tvertnei ir jābūt tādai, lai izpildītos nosacījums $H=2R$.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.6. Funkcijas grafika ieliekums un izliekums Augstāk: 3. ATVASINĀJUMA LIETOJUMI FUNKCIJU PĒTĪŠANĀ Iepriekšējais: 3.4. Funkcijas ekstrēma pietiekamie nosacījumi