Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.7. Funkcijas grafika pārliekuma punkti un Augstāk: 3. ATVASINĀJUMA LIETOJUMI FUNKCIJU PĒTĪŠANĀ Iepriekšējais: 3.5. Funkcijas vislielākās un vismazākās vērtības

3.6. Funkcijas grafika ieliekums un izliekums

3.7. definīcija. Diferencējamas funkcijas $f$ grafiku intervālā $(a;b)$ sauc par ieliektu (vai izliektu), ja tas atrodas virs (vai zem) pieskares, kas konstruēta grafika jebkurā punktā.

Intervālā $(a;b)$ ieliektas funkcijas grafiks attēlots 3.13. zīm., bet izliektas - 3.14. zīm.

3.13. zīmējums

3.14. zīmējums

3.7. piezīme. 

Vienas un tās pašas funkcijas grafiks kādā intervālā var būt izliekts, bet citā intervālā - ieliekts. Piemēram, funkcijas $f(x)=\sin x$ grafiks ir izliekts intervālā $(0;\pi)$ un ieliekts intervālā $(\pi;2\pi)$ (3.15. zīm.).

3.15. zīmējums

3.7. teorēma. (Funkcijas grafika ieliekuma pietiekamais nosacījums).

Ja funkcijai $f$ intervālā $(a;b)$ eksistē otrās kārtas atvasinājums un visos intervāla punktos $f''(x)>0$, tad funkcijas grafiks šajā intervālā ir ieliekts.

$\blacktriangleright$ Tā kā funkcija ir divas reizes diferencējama intervālā $(a;b)$, tad šajā intervālā tā ir diferencējama un tāpēc funkcijas grafika katrā punktā eksistē pieskare.

3.16. zīmējums

Izvēlēsimies patvaļīgu $x_0\in (a;b)$ (3.16. zīm.) un grafika atbilstošajā punktā $M_0(x_0;f(x_0))$ konstruēsim pieskari, kuras vienādojums ir

$$Y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$$ (3.1)

($(x;Y)$ - pieskares punktu koordinātas).

Funkcijai $f$ punkta $x_0$ apkārtnē uzrakstīsim Teilora formulu ar atlikuma locekli Lagranža formā, izvēloties $n=1$. Iegūsim

$$y=f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(c)}{2!}(x-x_0)^2,$$ (3.2)

kur $c$ atrodas starp $x_0$ un $x$. ($(x;y)$ - funkcijas grafika punktu koordinātas).

No vienādības (3.2) atņemsim vienādību (3.1). Iegūsim

$$y-Y=\frac{f''(c)}{2}(x-x_0)^2\/.$$ (3.3)

Tā kā intervālā $(a;b)$ ir spēkā $f''(x)>0$, tad arī $f''(c)>0$. Tātad visiem $x\neq x_0$ ir spēkā $y-Y>0$ jeb $y>Y$. Tas nozīmē, ka funkcijas grafiks atrodas virs tā patvaļīgajā punktā konstruētās pieskares. Tādējādi funkcijas $f$ grafiks intervālā $(a;b)$ ir ieliekts. $\blacktriangleleft$

Analogi var formulēt un pierādīt funkcijas grafika izliekuma pietiekamo nosacījumu.

3.8. piezīme. 

Ja atsevišķos punktos $f''(x)=0$, bet pārējos intervāla $(a;b)$ punktos $f''(x)>0$, tad funkcijas grafiks šajā intervālā ir ieliekts.

Lai atrastu funkcijas grafika ieliekuma un izliekuma intervālus, rīkojas šādi.

1. Atrod funkcijas otrās kārtas atvasinājumu $f''(x)$.
2. Atrod tos intervālus, kuros $f''(x)$ saglabā zīmi. Ja kādā intervālā $f''(x)>0$, tad šajā intervālā funkcijas grafiks ir ieliekts, ja turpretim $f''(x)<0$, tad - izliekts.

3.11. piemērs. 

Atrast funkcijas $f(x)=x^3-6x^2+9x+2$ grafika ieliekuma un izliekuma intervālus.

1. Atrodam $f''(x)=6x-12$.
2. Otrās kārtas atvasinājums, acīmredzot, ir nulle punktā $x=2$. Šis punkts funkcijas definīcijas apgabalu sadala divos intervālos. Katrā no šiem intervāliem $f''(x)$ saglabā savu zīmi. Otrās kārtas atvasinājuma zīmes ir lietderīgi atzīmēt uz skaitļu taisnes (3.17. zīm.).

3.17. zīmējums

Tādējādi funkcijas grafiks intervālā $\;(-\infty;2)\;$ ir izliekts, bet intervālā $\;(2;+\infty)$ - ieliekts. (Izliekts funkcijas grafiks apzīmēts ar simbolu $\lq\lq \frown''$, bet ieliekts - ar $\lq\lq \smile''$).

Funkcijas grafiks attēlots 3.3. zīmējumā.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.7. Funkcijas grafika pārliekuma punkti un Augstāk: 3. ATVASINĀJUMA LIETOJUMI FUNKCIJU PĒTĪŠANĀ Iepriekšējais: 3.5. Funkcijas vislielākās un vismazākās vērtības