Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.8. Funkcijas grafika asimptotas Augstāk: 3. ATVASINĀJUMA LIETOJUMI FUNKCIJU PĒTĪŠANĀ Iepriekšējais: 3.6. Funkcijas grafika ieliekums un izliekums

3.7. Funkcijas grafika pārliekuma punkti un to nosacījumi

3.8. definīcija. Funkcijas $f$ grafika punktu $M_0(x_0;y_0)$ sauc par tās grafika pārliekuma (infleksijas) punktu, ja tas atdala grafika izliekto daļu no ieliektās daļas un funkcija punktā $x_0$ ir nepārtraukta.

Saskaņā ar šo definīciju punkts $M_0(2;4)$ ir funkcijas $f(x)=x^3-6x^2+9x+2$ grafika pārliekuma punkts (skat. 3.11. piemēru).

Funkcijas grafiks attēlots 3.3. zīmējumā.

3.9. piezīme. 

Pārliekuma punktā $M_0$ funkcijas grafika pieskarei no vienas puses jāatrodas virs grafika, bet no otras puses - zem grafika, t.i., šajā punktā pieskarei ir jākrusto funkcijas grafiks (3.18. zīm.).

3.18. zīmējums

No funkcijas grafika izliekuma un ieliekuma pietiekamā nosacījuma izriet pārliekuma punkta eksistences nepieciešamais nosacījums:

ja punkts $M_0(x_0;f(x_0))$ ir funkcijas $f$ grafika pārliekuma punkts, tad $f''(x_0)=0$ vai arī punktā $x_0$ funkcija nav divreiz diferencējama.

Formulētais nosacījums nevar būt par funkcijas grafika pārliekuma punkta pietiekamo nosacījumu. Piemēram, funkcijai $f(x)=x^4$ punktā $x_0=0$ $f''(x_0)=0$, bet grafika punkts $O(0;0)$ nav tā pārliekuma punkts.

3.8. teorēma.  (Funkcijas grafika pārliekuma punkta eksistences pietiekamais nosacījums).

Ja funkcija $f$ ir nepārtraukta punktā $x_0$ un, argumentam ejot caur punktu $x_0$, otrās kārtas atvasinājums $f''(x)$ maina zīmi, tad punkts $M_0(x_0;f(x_0))$ ir funkcijas grafika pārliekuma punkts.

Pierādīt patstāvīgi^3.8.

3.10. piezīme. 

Ja, argumentam ejot caur $x_0$, $f''(x)$ zīme nemainās, tad punkts ar abscisu $x_0$ nav funkcijas grafika pārliekuma punkts.

Lai atrastu funkcijas grafika pārliekuma punktus, rīkojas šādi.

1. Atrod funkcijas otrās kārtas atvasinājumu $f''(x)$.
2. Atrod tos punktus, kuros otrās kārtas atvasinājums ir nulle un arī tos funkcijas $f$ nepārtrauktības punktus, kuros šī funkcija nav divreiz diferencējama.
3. Izpēta otrās kārtas atvasinājuma zīmi šādu punktu apkārtnēs. Ja, argumentam ejot caur kādu no šiem punktiem $x_0$, $f''(x)$ zīme izmainās, tad punkts $M_0(x_0;f(x_0))$ ir funkcijas grafika pārliekuma punkts.

3.12. piemērs. 

Atrast funkcijas $f(x)=\sqrt[3]{x^2}+\frac{x^2}{9}$ grafika pārliekuma punktus.

1. Atradīsim $f'(x)=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}+\frac{2}{9}x$;
   $$f''(x)=-\frac{2}{9}x^{-\frac{4}{3}}+\frac{2}{9}=\frac{2}{9}\frac{\sqrt[3]{x^4}-1}{\sqrt[3]{x^4}}\/.$$

2. Otrās kārtas atvasinājums ir nulle punktos $-1$ un $1$; punktā 0 otrās kārtas atvasinājums ir bezgalīgs (šajā punktā funkcija ir nepārtraukta, bet nav divreiz diferencējama).
3. Punkti $-1,0$ un $1$ funkcijas definīcijas apgabalu sadala četros intervālos. Katrā no šiem intervāliem noteiksim $f''(x)$ zīmi (3.19. zīm.).

   

   3.19. zīmējums
   $$f(\pm 1)=1+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}\/.$$

Funkcijas grafika pārliekuma punkti ir $M_1\left(-1;\frac{10}{9}\right)$ un $M_2\left(1;\frac{10}{9}\right)$. Funkcijas grafika punktā, kura abscisa ir 0, pārliekuma nav.

Vienlaicīgi ir atrasti arī funkcijas grafika ieliekuma un izliekuma intervāli. Funkcijas grafiks ir ieliekts intervālos $(-\infty;-1)$ un $(1;+\infty)$, bet izliekts - intervālā $(-1;1)$.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.8. Funkcijas grafika asimptotas Augstāk: 3. ATVASINĀJUMA LIETOJUMI FUNKCIJU PĒTĪŠANĀ Iepriekšējais: 3.6. Funkcijas grafika ieliekums un izliekums