Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.9. Funkcijas pilnā pētīšana Augstāk: 3. ATVASINĀJUMA LIETOJUMI FUNKCIJU PĒTĪŠANĀ Iepriekšējais: 3.7. Funkcijas grafika pārliekuma punkti un

3.8. Funkcijas grafika asimptotas

3.9. definīcija. Taisni $x=a$ sauc par funkcijas $f$ grafika vertikālo asimptotu, ja vismaz viena no vienpusējām robežām

$$\lim_{\substack{x\rightarrow a\\ x<a}}f(x)$$   vai$$\quad \lim_{\substack{x\rightarrow a\\ x>a}}f(x)$$   ir$$\quad +\infty$$   vai$$\quad -\infty.$$

Piemēram, funkcijas $f(x)=\frac{1}{x-2}$ grafikam taisne $x=2$ ir vertikālā asimptota, jo

$$\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\ x<... ...ck{x\rightarrow 2\\ x>2}}\frac{1}{x-2}=+\infty.\quad\text{(\ref{31arma}~zīm.)}$$

3.20. zīmējums

3.11. piezīme. 

Ja punkts $a\in D(f)$ un taisne $x=a$ ir funkcijas $f$ grafika vertikālā asimptota, tad acīmredzami $a$ ir šīs funkcijas otrā veida pārtraukuma punkts.

3.10. definīcija. Taisni $y=kx+b$ sauc par funkcijas $f$ grafika slīpo asimptotu, kad $x\rightarrow +\infty$, ja funkciju var uzrakstīt šādā izskatā:

$$f(x)=kx+b+\alpha(x),$$

kur $\alpha(x)\rightarrow 0$, kad $x\rightarrow +\infty$.

Piemēram, taisne $y=x+2$ ir funkcijas $f(x)=\frac{x^2+x}{x-1}$ grafika slīpā asimptota, kad $x\rightarrow +\infty$, jo

$$f(x)=\frac{x^2+x}{x-1}=x+2+\underbrace{\frac{2}{x-1}}_{\alpha(x)}$$

un

$$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{2}{x-1}=0$$   (3.22. zīm.)$$.$$

3.9. teorēma.  (Funkcijas grafika slīpās asimptotas eksistences nepieciešamais un pietiekamais nosacījums)

Lai taisne $y=kx+b$ būtu funkcijas $f$ grafika slīpā asimptota, kad $x\rightarrow +\infty$, ir nepieciešami un pietiekami, lai eksistētu galīgas robežas

$$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}=k;\quad \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}(f(x)-kx)=b\/.$$

$\blacktriangleright$ Nepieciešamība. Tā kā taisne $y=kx+b$ ir funkcijas grafika slīpā asimptota, kad $x\rightarrow +\infty$, tad šo funkciju var uzrakstīt izskatā: $f(x)=kx+b+\alpha(x)$, kur $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\alpha(x)=0$.

Savukārt no šīs vienādības izriet šādas divas vienādības:

$$\frac{f(x)}{x}=k+\frac{b}{x}+\frac{\alpha(x)}{x};\quad f(x)-kx=b+\alpha(x)\/.$$

Šo divu vienādību labajām pusēm eksistē galīgas robežas, kad $x\rightarrow +\infty$, kas atbilstoši ir $k$ un $b$. Tāpēc eksistē galīgas robežas arī kreisajām pusēm un tās ir vienādas atbilstoši ar $k$ un $b$, t.i.,

$$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}=k\quad\text{un}\quad \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}(f(x)-kx)=b\/.$$

Pietiekamība. Tā kā eksistē galīgas robežas

$$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}=k\/;\quad\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}(f(x)-kx)=b\/,$$

tad saskaņā ar robežas īpašībām funkcija $f(x)-kx$ atšķiras no savas robežas $b$ par bezgalīgi mazu funkciju $\alpha(x)$, kad $x\rightarrow +\infty$.

Tātad

$$(f(x)-kx)-b=\alpha(x)$$

jeb

$$f(x)=kx+b+\alpha(x)\/,$$

kur $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\alpha(x)=0$.

Tādējādi taisne $y=kx+b$ ir funkcijas $f$ grafika slīpā asimptota, kad $x\rightarrow +\infty$. $\blacktriangleleft$

Analogi definē funkcijas $f$ grafika slīpo asimptotu, kad $x\rightarrow -\infty$, analogi formulē un pierāda funkcijas grafika slīpās asimptotas, kad $x\rightarrow -\infty$, eksistences nepieciešamo un pietiekamo nosacījumu.

3.12. piezīme. 

$\phantom{}$

1. Atsevišķām funkcijām taisne $y=kx+b$ ir grafika slīpā asimptota gan, kad $x\rightarrow +\infty$, gan, kad $x\rightarrow -\infty$.
2. Ja $k=0$, tad iegūstam funkcijas grafika horizontālo asimptotu, kad $x\rightarrow +\infty$, vai $\;x\rightarrow -\infty$.
3. Ja vismaz viena no 3.9. teorēmā minētajām robežām neeksistē vai ir bezgalīga, tad funkcijas grafikam slīpās asimptotas, kad $x\rightarrow +\infty$, nav.

3.13. piemērs. 

Atrast funkcijas $f(x)=\sqrt{x^2+1}+2x$ grafika asimptotas.

$D(f)=\mathbb{R}$, vertikālo asimptotu funkcijas grafikam nav. Vispirms atradīsim grafika slīpo asimptotu, kad $x\rightarrow +\infty$.

$$\begin{multline*} k_1=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limi... ...y}\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+2\right)=1+2=3;\qquad\qquad\qquad \end{multline*}$$

$$\begin{multline*} b_1=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}(f(x)-k_1x)=\lim\limits_... ... =\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}=0. \end{multline*}$$

Tādējādi taisne $y=3x$ ir funkcijas grafika slīpā asimptota, kad $x\rightarrow +\infty$.

Analogi atradīsim grafika slīpo asimptotu, kad $x\rightarrow -\infty$.

Šoreiz

$$\begin{multline*} k_2=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limi... ...-\infty}\left(\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{-1}+2\right)=-1+2=1; \end{multline*}$$

$$\begin{multline*} b_2=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}(f(x)-k_2x)=\lim\limits_... ... =\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}=0. \end{multline*}$$

Tādējādi taisne $y=x$ ir funkcijas grafika slīpā asimptota, kad $x\rightarrow -\infty$.

Funkcijas $\;f(x)=\sqrt{x^2+1}+2x\;$ grafiks un tā slīpās asimptotas, kad $\;x\rightarrow +\infty$ un kad $x\rightarrow -\infty$, ir attēloti 3.21. zīmējumā.

3.21. zīmējums

3.14. piemērs. 

Atrast funkcijas $f(x)=\frac{x^2+x}{x-1}$ grafika asimptotas.

Funkcija nav definēta punktā $x=1$. Taisne $x=1$ ir šīs funkcijas grafika vertikālā asimptota, jo

$$\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\ x<1}}\frac{x^2+x}{x-1}=-\infty;\quad \lim_{\substack{x\rightarrow 1\\ x>1}}\frac{x^2+x}{x-1}=+\infty\/.$$

Šoreiz

$$k =\lim\limits_{x\rightarrow\pm \infty}\frac{f(x)}{x}= \lim\limits_... ...{\frac{x^2+x}{x-1}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow\pm \infty}\frac{x+1}{x-1}=1\/;$$

$$b =\lim\limits_{x\rightarrow\pm \infty}(f(x)-kx)= \lim\limits_{x\ri... ...{x-1}-x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow\pm \infty}\frac{x^2+x-x^2+x}{x-1}=2\/.$$

Tādējādi taisne $y=x+2$ ir funkcijas grafika slīpā asimptota, kad $x\rightarrow \pm \infty$ (3.22. zīm.).

3.22. zīmējums

3.15. piemērs. 

Atrast funkcijas $f(x)=e^{\frac{1}{1-x}}$ grafika asimptotas.

Funkcija nav definēta punktā $x=1$. Taisne $x=1$ ir šīs funkcijas grafika vertikālā asimptota, jo

$$\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\ x<1}}e^{\frac{1}{1-x}}=+\infty\/.$$

Starp citu,

$$\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\ x>1}}e^{\frac{1}{1-x}}=0\/.$$

Šoreiz

$$k =\lim\limits_{x\rightarrow\pm \infty}\frac{f(x)}{x}= \lim\limits_{x\rightarrow\pm \infty}\frac {e^{\frac{1}{1-x}}}{x}=0\/;$$

$$b =\lim\limits_{x\rightarrow\pm \infty}(f(x)-kx)= \lim\limits_{x\rightarrow\pm \infty}\left(e^{\frac{1}{1-x}}-0\right)=1\/.$$

Tādējādi taisne $y=1$ ir šīs funkcijas grafika horizontālā asimptota, kad $x\rightarrow \pm \infty$ (3.23. zīm.).

3.23. zīmējums

3.16. piemērs. 

Atrast funkcijas $f(x)=x+\ln x$ grafika asimptotas.

$D(f)=(0;+\infty)$. Taisne $x=0$ ir funkcijas grafika vertikālā asimptota, jo $\lim\limits_{\substack{x\rightarrow 0\\ x>0}}(x+\ln x)=-\infty$.

$$k =\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}= \lim\limits_{x... ...\ln x}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{\ln x}{x}\right)=1\/;$$

$$b =\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}(f(x)-kx)= \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}(x+\ln x-x)=\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\ln x=+\infty\/.$$

Tādējādi grafikam slīpā asimptota, kad $x\rightarrow +\infty$, neeksistē (3.24. zīm.).

3.24. zīmējums

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.9. Funkcijas pilnā pētīšana Augstāk: 3. ATVASINĀJUMA LIETOJUMI FUNKCIJU PĒTĪŠANĀ Iepriekšējais: 3.7. Funkcijas grafika pārliekuma punkti un