Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.10. Jautājumi Augstāk: 3. ATVASINĀJUMA LIETOJUMI FUNKCIJU PĒTĪŠANĀ Iepriekšējais: 3.8. Funkcijas grafika asimptotas

3.9. Funkcijas pilnā pētīšana

Izpētīt funkciju nozīmē noskaidrot, kā mainās tās raksturs, mainoties argumentam. Ņemot vērā funkcijas pētīšanā iegūtos rezultātus, konstruē tās grafiku.

Funkciju ar atvasinājuma palīdzību parasti pēta pēc šādas shēmas.

1. Atrod funkcijas definīcijas apgabalu $D(f)$, nosaka pārtraukuma punktus un to veidu, norāda funkcijas nepārtrauktības intervālus.
2. Noskaidro, vai $f$ ir pāra funkcija, nepāra funkcija, periodiska funkcija.
3. Atrod funkcijas grafika krustpunktus ar koordinātu asīm un nosaka intervālus, kuros tā ir negatīva, un intervālus, kuros funkcija ir pozitīva.
4. Nosaka funkcijas monotonitātes intervālus un ekstrēmus.
5. Nosaka funkcijas grafika izliekuma un ieliekuma intervālus, kā arī grafika pārliekuma punktus.
6. Atrod funkcijas grafika asimptotas.

3.13. piezīme. 

$\phantom{}$

1. Funkcijas grafika precizēšanai vajadzības gadījumā vēl var atrast funkcijas vērtības izraudzītajos papildpunktos.
2. Pāra vai nepāra funkciju vienkāršības labad var pētīt tikai pozitīvajām argumenta vērtībām. Izmantojot pāra (vai nepāra) funkciju īpašības, izdara secinājumus par tās raksturu visā tās definīcijas apgabalā. Savukārt periodiskas funkcijas var pētīt tikai intervālā, kura garums ir vienāds ar tās periodu.
3. Pirms uzzīmē funkcijas grafiku, koordinātu plaknē atzīmē visus funkcijai raksturīgos^3.9 punktus un grafika asimptotas.

3.17. piemērs. 

Izpētīt funkciju $f(x)=\sqrt[3]{x^2}\cdot e^x$ un uzzīmēt tās grafiku.

1. $D(f)=(-\infty;+\infty)$. Funkcijai pārtraukuma punktu nav, $f$ - nepārtraukta funkcija.
2. Funkcija nav ne pāra, ne nepāra, tā ir neperiodiska.
3. Argumenta vērtībai $x=0$ atbilst funkcijas vērtība $y=0$. Funkcija ir nenegatīva visā savā definīcijas apgabalā.
4. Atradīsim
   $$f'(x)=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}e^x+\sqrt[3]{x^2}e^x=\frac{(2+3x)e^x}{3\sqrt[3]{x}}\/.$$
   Funkcijas kritiskie punkti ir $-\frac{2}{3}$ un 0.
   Atvasinājuma zīmes atzīmēsim uz skaitļu taisnes (3.25. zīm.).

   

   3.25. zīmējums
   Funkcija aug intervālos $\left(-\infty;-\frac{2}{3}\right)$ un $(0;+\infty)$, dilst intervālā $\left(-\frac{2}{3};0\right)$.
   $$\max f(x)=f\left(-\frac{2}{3}\right)=\sqrt[3]{\frac{4}{9}}\cdot e^{-\frac{2}{3}} \approx 0,39\/;\quad \min f(x)=f(0)=0\/.$$

5. Atradīsim
   $$f''(x)=\frac{9x^2+12x-2}{9x\sqrt[3]{x}}e^x\/.$$
   Otrās kārtas atvasinājums ir nulle punktos $\;\frac{-2-\sqrt{6}}{3}\approx 1,48\;$ un $\;\frac{-2+\sqrt{6}}{3}\approx 0,15$; bezgalīgs punktā $x=0$.
   Otrās kārtas atvasinājuma zīmes atzīmēsim uz skaitļu taisnes (3.26. zīm.).

   

   3.26. zīmējums
   Funkcijas grafiks ir ieliekts intervālos $\left(-\infty; \frac{-2-\sqrt{6}}{3}\right)$ un $\left(\frac{-2+\sqrt{6}}{3};+\infty\right)$, izliekts intervālā $\left(\frac{-2-\sqrt{6}}{3};\frac{-2+\sqrt{6}}{3}\right)$.
   $$f\left(\frac{-2-\sqrt{6}}{3}\right)\approx f(-1,48)\approx 0,30\/;$$
   $$f\left(\frac{-2+\sqrt{6}}{3}\right)\approx f(0,15)\approx 0,32\/.$$
   Funkcijas grafika punkti, kuru abscisas ir $\frac{-2-\sqrt{6}}{3}$ un $\frac{-2+\sqrt{6}}{3}$, ir grafika pārliekuma punkti.
6. Vertikālo asimptotu grafikam nav.
   Atradīsim
   $$k_1=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^x}{\sqrt[3]{x}}=+\infty\/.$$
   Tādējādi grafikam slīpās asimptotas, kad $x\rightarrow +\infty$, nav.

   $$k_2 =\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow +-\infty}\frac{e^x}{\sqrt[3]{x}}=0\/;$$

   $$b_2 =\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}(f(x)-k_2x)=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\left(\sqrt[3]{x^2}\cdot e^x\right)=0\/.$$

   
   
   Tādējādi taisne $y=0$ ir grafika horizontālā asimptota, kad $x\rightarrow -\infty$.

Funkcijas pētīšanā iegūtos rezultātus ir lietderīgi apkopot šādā tabulā:

$x$	$f(x)$	$f'(x)$	$f''(x)$
$\left(-\infty; \frac{-2-\sqrt{6}}{3}\right)$	$+$	$$\begin{array}{c} + \\ \nearrow \ \end{array}$$	$$\begin{array}{c} + \\ \smile \ \end{array}$$
$\frac{-2-\sqrt{6}}{3}$	$\approx 0,30$	$$\begin{array}{c} + \\ \nearrow \ \end{array}$$	0
$\left(\frac{-2-\sqrt{6}}{3};-\frac{2}{3}\right)$	$+$	$$\begin{array}{c} + \\ \nearrow \ \end{array}$$	$$\begin{array}{c} - \\ \frown \ \end{array}$$
$-\frac{2}{3}$	$\begin{array}{c} \approx 0,39 \\ \max \ \end{array}$	0	$$\begin{array}{c} - \\ \frown \ \end{array}$$
$\left(-\frac{2}{3};0\right)$	$+$	$$\begin{array}{c} - \\ \searrow \ \end{array}$$	$$\begin{array}{c} - \\ \frown \ \end{array}$$
0	$$\begin{array}{c} 0 \\ \min \ \end{array}$$	neeks.	neeks.
$\left(0;\frac{-2+\sqrt{6}}{3}\right)$	$+$	$$\begin{array}{c} + \\ \nearrow \ \end{array}$$	$$\begin{array}{c} - \\ \frown \ \end{array}$$
$\frac{-2+\sqrt{6}}{3}$	$\approx 0,32$	$$\begin{array}{c} + \\ \nearrow \ \end{array}$$	0
$\left(\frac{-2+\sqrt{6}}{3};+\infty\right)$	$+$	$$\begin{array}{c} + \\ \nearrow \ \end{array}$$	$$\begin{array}{c} + \\ \smile \ \end{array}$$

Funkcijas grafiks attēlots 3.27. zīmējumā.

3.27. zīmējums

Matemātika DU TSC
Nākamais: 3.10. Jautājumi Augstāk: 3. ATVASINĀJUMA LIETOJUMI FUNKCIJU PĒTĪŠANĀ Iepriekšējais: 3.8. Funkcijas grafika asimptotas