Matemātika DU TSC
Nākamais: 5.6. Homogēnas plaknes figūras statisko momentu Augstāk: 5. NOTEIKTĀ INTEGRĀĻA LIETOJUMI Iepriekšējais: 5.4. Ķermeņa tilpuma aprēķināšana ar noteikto

5.5. Materiālas līnijas masas, statisko momentu un masas centra aprēķināšana ar noteikto integrāli

5.2. definīcija. 

Par materiālu līniju sauc ģeometrisku līniju, kuras jebkuram lokam ir noteikta masa.

Apskata materiālu līniju $AB$, kas no ģeometriskā viedokļa ir intervālā $[a;b]$ nepārtraukti diferencējamas funkcijas $f(x)$ grafiks (5.14. zīm.). Materiālās līnijas lineāro blīvumu raksturo intervālā $[a;b]$ nepārtraukta funkcija $\mu(x)$.

5.14. zīm.

Izveido loka $AB$ sasmalcinājumu ar punktu

$$M_0,M_1,\ldots,M_{k-1},M_k,\ldots,M_n$$

palīdzību (tiek iegūts arī intervāla $[a;b]$ sasmalcinājums

$$a=x_0<x_1<\cdots<x_{k-1}<x_k<\cdots<x_n=b\/).$$

Katru no elementārlokiem $M_{k-1}M_k$ aizstāj ar atbilstošu taisnes nogriezni, kura garums (tika aprēķināts jau iepriekš) ir

$$M_{k-1}M_k=\sqrt{1+f^{\prime\,2}(\xi_k)}\;\Delta x_k\/,$$

kur $\xi_k\in[x_{k-1},x_k]$.

Pieņem, ka katrā loka elementārdaļā lineārais blīvums ir konstants un vienāds ar $\mu(\xi_k)$.

Elementārloka $M_{k-1}M_k$ masa aptuveni ir vienāda ar

$$\mu(\xi_k)\sqrt{1+f^{\prime\,2}(\xi_k)}\;\Delta x_k\/,$$

bet visas līknes $AB$ masa aptuveni ir vienāda ar

$$\sum\limits_{k=1}^n\mu(\xi_k)\sqrt{1+f^{\prime\,2}(\xi_k)}\;\Delta x_k\/.$$

Par līknes $AB$ masu nosauc šīs summas robežu. Šāda summa ir intervālā $[a;b]$ nepārtrauktas funkcijas $\mu(x)\sqrt{1+f^{\prime\,2}(x)}$ integrālsumma, tāpēc eksistē galīga robeža no šīs summas, kad sasmalcinājuma solis tiecas uz nulli, pie tam šī robeža ir vienāda ar noteikto integrāli

$$\int\limits_a^b\mu(x)\sqrt{1+f^{\prime\,2}(x)}\;dx\/.$$

Tādējādi

$$\boxed{m=\int\limits_a^b\mu(x)\sqrt{1+f^{\prime\,2}(x)}\;dx\/.}$$ (5.9)

5.4. piezīme. 

Ja materiālā līnija ir homogēna, tad lineārais blīvums $\mu(x)=\mu=const$ un $m=\mu\int\limits_a^b\sqrt{1+f^{\prime\,2}(x)}\;dx=\mu s$, kur $s$ ir līnijas $AB$ garums.

5.3. definīcija. 

Par materiāla punkta^5.2 statisko momentu $M$ pret kādu asi sauc šī punkta masas $m$ reizinājumu ar punkta attālumu $d$ līdz asij, kas ņemts ar plusa zīmi, ja materiālais punkts atrodas vienā pusē no ass, un ar mīnusa zīmi, - ja tas atrodas otrā pusē no ass. Tādējādi ar precizitāti līdz zīmei $\boxed{M=md}$.

5.4. definīcija. 

Par materiālo punktu sistēmas statisko momentu pret asi sauc atsevišķo sistēmas punktu statisko momentu summu.

Koordinātu sistēmā apskata materiālu punktu sistēmu

$$A_1(x_1;y_1), A_2(x_2;y_2),\ldots, A_n(x_n;y_n)$$   (5.15. zīm.).

Šo punktu masas apzīmē atbilstoši ar $m_1,m_2,\ldots,m_n$. Šo materiālo punktu sistēmas statiskie momenti pret koordinātu asīm ir

$$\boxed{M_x=\sum\limits_{k=1}^nm_ky_k\/,}\quad\boxed{M_y=\sum\limits_{k=1}^nm_kx_k\/,}\quad\boxed{m=\sum\limits_{k=1}^nm_k\/.}$$

5.15. zīm.

Apskata materiālas līknes loku $AB$ un sadala to elementārdaļās (5.16. zīm.).

Elementārloka $M_{k-1}M_k$ masa aptuveni ir vienāda ar

$$\mu(\xi_k)\sqrt{1+f^{\prime\,2}(\xi_k)}\;\Delta x_k\/,$$

kur $\xi_k\in[x_{k-1},x_k]$.

Uzskata, ka šī elementārloka masa ir koncentrēta punktā $P_k\bigl(\xi_k;f(\xi_k)\bigr)$. Šādu materiālo punktu sistēmas statiskie momenti pret koordinātu asīm atbilstoši ir

$$\sum\limits_{k=1}^nf(\xi_k)\mu(\xi_k)\sqrt{1+f^{\prime\,2}(\xi_k)}\/\Delta x_k$$

un

$$\sum\limits_{k=1}^n\xi_k\mu(\xi_k)\sqrt{1+f^{\prime\,2}(\xi_k)}\/\Delta x_k\/.$$

5.16. zīm.

Materiālās līknes loka $AB$ statiskie momenti attiecībā pret koordinatu asīm ir aptuveni vienādi ar šīm summām. Par līknes loka $AB$ statiskiem momentiem pret koordinātu asīm nosauc šo summu robežas, t.i.,

$$M_x=\lim\limits_{\lambda\rightarrow 0}\sum\limits_{k=1}^nf(\xi_k)... ...}(\xi_k)}\;\Delta x_k=\int\limits_a^bf(x)\mu(x)\sqrt{1+f^{\prime\,2}(x)}\;dx\/,$$

$$M_y=\lim\limits_{\lambda\rightarrow 0}\sum\limits_{k=1}^n\xi_k\mu... ...\,2}(\xi_k)}\;\Delta x_k=\int\limits_a^bx\mu(x)\sqrt{1+f^{\prime\,2}(x)}\;dx\/,$$

kur $\lambda=\max\limits_{1\leq k\leq n}\Delta x_k$.

(Pamatot robežu eksistenci).

Tādējādi

$$\boxed{\begin{array}{l} M_x=\int\limits_a^bf(x)\mu(x)\sqrt{1+f^{\... ...\/, \\ M_y=\int\limits_a^bx\mu(x)\sqrt{1+f^{\prime\,2}(x)}\;dx\/. \end{array}}$$ (5.10)

5.5. definīcija. 

Par dotās materiālo punktu sistēmas masas centru $C(x_c,y_c)$ sauc tādu punktu, kurā koncentrējot visas šīs sistēmas masu $m$, tā statiskie momenti pret koordinātu asīm ir vienādi ar sistēmas statiskiem momentiem pret šīm asīm.

Tādējādi $my_c=M_x$ un $mx_c=M_y$ jeb

$$\boxed{x_c=\frac{M_y}{m}\/,}\quad\boxed{y_c=\frac{M_x}{m}\/.}$$

Materiālo punktu sistēmai

$$\boxed{x_c=\frac{\sum\limits_{k=1}^nm_kx_k}{\sum\limits_{k=1}^nm_k}\/,}\quad\boxed{y_c=\frac{\sum\limits_{k=1}^nm_ky_k}{\sum\limits_{k=1}^nm_k}\/,}$$

bet materiālās līknes lokam $AB$

$$\boxed{\begin{array}{l} x_c=\frac{\int\limits_a^bx\mu(x)\sqrt{1+ ... ...)}\/dx}{\int\limits_{a}^b\mu(x)\sqrt{1+f^{\prime\,2}(x)}\/dx}\/. \ \end{array}}$$ (5.11)

5.5. piezīme. 

Ja materiāla līkne ir homogēna ($\mu$ - const), tad

$$\boxed{\begin{array}{l} x_c=\frac{1}{s}\int\limits_a^bx\sqrt{1+f^... ... y_c=\frac{1}{s}\int\limits_a^bf(x)\sqrt{1+f^{\prime\,2}(x)}\;dx,\ \end{array}}$$ (5.12)

kur $s=\int\limits_a^b\sqrt{1+f^{\prime\,2}(x)}\;dx$ ir līknes loka $AB$ garums.

5.7. piemērs. 

Aprēķināt masas centru homogēnas riņķa līnijas
$x^2+y^2=a^2$ lokam pirmajā kvadrantā.

Tā kā loks ir simetrisks attiecībā pret koordinātu sistēmas pirmā kvadranta bisektrisi, tad masas centrs $C(x_c,y_c)$ atrodas uz šīs bisektrises, tāpēc $x_c=y_c$.

Pēc formulas (5.12)

$$y_c=\frac{1}{s}\int\limits_a^bf(x)\sqrt{1+f^{\prime\,2}(x)}\;dx\/.$$

Atrod

$$y=f(x)=\sqrt{a^2-x^2},$$

$$y'=f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2},},$$

$$1+f^{\prime\,2}(x)=1+\frac{x^2}{a^2-x^2}=\frac{a^2}{a^2-x^2},$$

$$\sqrt{1+f^{\prime\,2}(x)}=\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2}},$$

$$f(x)\sqrt{1+f^{\prime\,2}(x)}=\sqrt{a^2-x^2}\cdot\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2}}=a.$$

Tāpēc

$$y_c=\frac{1}{s}\int\limits_0^aadx=\frac{1}{s}a\int\limits_0^adx=\frac{1}{s}a^2\/,$$

kur $s=\frac{1}{4}2\pi a=\frac{\pi a}{2}$.

Tādējādi

$$x_c=y_c=\frac{2}{\pi a}a^2=\frac{2a}{\pi}$$   un$$\quad C\left(\frac{2a}{\pi},\frac{2a}{\pi}\right)\;$$(5.17. zīm.)$$\/.$$

5.17. zīm.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 5.6. Homogēnas plaknes figūras statisko momentu Augstāk: 5. NOTEIKTĀ INTEGRĀĻA LIETOJUMI Iepriekšējais: 5.4. Ķermeņa tilpuma aprēķināšana ar noteikto