Matemātika DU TSC
Nākamais: 5.5. Materiālas līnijas masas, statisko momentu Augstāk: 5. NOTEIKTĀ INTEGRĀĻA LIETOJUMI Iepriekšējais: 5.3. Līknes garuma aprēķināšana ar noteikto

5.4. Ķermeņa tilpuma aprēķināšana ar noteikto integrāli

1. Apskata ķermeni, kuram zināms šķērsgriezuma ar jebkuru abscisu asij perpendikulāru plakni laukums $S(x)$ (5.11. zīm.). Funkcija $S(x)$ pie tam intervālā $[a;b]$ ir nepārtraukta.
   Izveido intervāla $[a;b]$ sasmalcinājumu
   $$a=x_0<x_1<\cdots <x_{k-1}<x_k<\cdots <x_n=b\/.$$
   Caur katru punktu $x_k$ konstruē plakni perpendikulāri abscisu asij.

   

   5.11. zīm.

   Pieņem, ka ķermeņa daļa starp plaknēm $x=x_{k-1}$, $x=x_k$ ir taisns cilindrs, kura pamatā ir figūra ar laukumu $S(\xi_k)$, kur $\xi_k\in[x_{k-1},x_k]$ un kura augstums ir $\Delta x_k=x_k-x_{k-1}$.

   Šīs ķermeņa daļas tilpums aptuveni būs vienāds ar $S(\xi_k)\Delta x_k$, bet visa ķermeņa tilpums būs vienāds ar $\sum\limits_{k=1}^nS(\xi_k)\Delta x_k$.
   Lai precīzi raksturotu dotā ķermeņa tilpumu $V$, tad apskata šādas summas robežu, kad $\lambda=\max\limits_{1\leq k\leq n}\Delta x_k\rightarrow 0$.
   Šāda robeža eksistē, jo $S(x)$ intervālā $[a;b]$ ir nepārtraukta funkcija. Pie tam šāda robeža vienāda ar atbilstošu noteikto integrāli
   $$\lim\limits_{\lambda\rightarrow 0}\sum\limits_{k=1}^nS(\xi_k)\Delta x_k= \int\limits_a^bS(x)dx\/.$$
   (Izteiksme $\sum\limits_{k=1}^nS(\xi_k)\Delta x_k$) ir integrālsumma funkcijai $S(x)$ intervālā $[a;b]$.
   Tādējādi

   $$\boxed{V=\int\limits_a^bS(x)dx\/.}$$ (5.7)

   
   

   5.3. piezīme. 

   No formulas (5.7) izriet jau 17. gadsimtā pazīstamais Kavaljeri^5.1 princips: ja divi ķermeņi, kas novietoti starp divām paralēlajām plaknēm, šķēlumā ar jebkuru citu tām paralēlu plakni dod vienlielas figūras (vienādi laukumi), tad šie ķermeņi ir vienlieli (tiem ir vienādi tilpumi) (5.12. zīm.).

   

   5.12. zīm.

2. Apskata ķermeni, kas rodas, līklīnijas trapecei rotējot ap abscisu asi (5.13. zīm.).

   

   5.13. zīm.

   Šādu ķermeni, kuru sauc par rotācijas ķermeni, šķeļot ar jebkuru abscisu asij perpendikulāru plakni, iegūst riņķi, kura rādiuss ir $f(x)$. Tāpēc iegūtā šķērsgriezuma laukums $S(x)=\pi f^2(x)$.

   Tādējādi

   $$V=\pi\int\limits_a^bf^2(x)dx.$$ (5.8)

   
   

Matemātika DU TSC
Nākamais: 5.5. Materiālas līnijas masas, statisko momentu Augstāk: 5. NOTEIKTĀ INTEGRĀĻA LIETOJUMI Iepriekšējais: 5.3. Līknes garuma aprēķināšana ar noteikto