nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 5.4. Ķermeņa tilpuma aprēķināšana ar noteikto Augstāk: 5. NOTEIKTĀ INTEGRĀĻA LIETOJUMI Iepriekšējais: 5.2. Rektificējama (iztaisnojama) līkne un tās

5.3. Līknes garuma aprēķināšana ar noteikto integrāli


  1. Jāaprēķina garums līknei $ AB$, kas ir intervālā $ [a;b]$ nepārtraukti diferencējamas funkcijas $ f(x)$ grafiks.

    Ja izveido līknes $ AB$ sasmalcinājumu, tad iegūst arī intervāla $ [a;b]$ sasmalcinājumu

    $\displaystyle a=x_0<x_1<\cdots<x_{k-1}<x_k<\cdots<x_n=b\/,$

    kur $ x_k$ ir punkta $ M_k$ abscisa (5.7. zīm.).

    5.7. zīm.

    Punkta $ M_k$ ordināta $ y_k=f(x_k)$. Tādējādi $ M_{k-1}\bigl(x_{k-1},f(x_{k-1})\bigr)$, $ M_k\bigl(x_k,f(x_k)\bigr)$ un

    \begin{multline*}
M_{k-1}M_k=\sqrt{(x_k-x_{k-1})^2+\bigl(f(x_k)-f(x_{k-1})\bigr...
..._k-x_{k-1})\bigr)^2}
=\sqrt{1+f^{\prime\,2}(\xi_k)}\Delta x_k,
\end{multline*}

    kur $ \Delta x_k=x_k-x_{k-1}$, $ \xi_k\in[x_{k-1},x_k]$.

    Starpība $ f(x_k)-f(x_{k-1})$ tika pārveidota pēc Lagranža formulas. Ievilktās lauztās līnijas perimetrs

    $\displaystyle P=\sum\limits_{k=1}^n\sqrt{1+f^{\prime\,2}(\xi_k)}\Delta x_k$

    ir intervālā $ [a;b]$ nepārtrauktas funkcijas $ \sqrt{1+f^{\prime\,2}(x)}$ integrālsumma.

    Šī funkcija ir integrējama kā nepārtraukta funkcija, tāpēc integrālsummai eksistē galīga robeža, kad $ \lambda\rightarrow 0$ (ja $ \lambda=\max\limits_{1\leq k\leq
k}M_{k-1}M_k\rightarrow 0$, tad arī $ \lambda^*=\max\limits_{1\leq
k\leq n}\Delta x_k\rightarrow 0$ un otrādi).

    Robeža ir vienāda ar šādu noteikto integrāli:

    $\displaystyle \lim\limits_{\lambda\rightarrow 0}\sum\limits_{k=1}^n\sqrt{1+f^{\prime\,2}(\xi_k)}\Delta x_k=
\int\limits_a^b\sqrt{1+f^{\prime\,2}(x)}dx\/.$

    Tādējādi līkne $ AB$ ir rektificējama un tās garums

    $\displaystyle \boxed{s=\int\limits_a^b\sqrt{1+f^{\prime\,2}(x)}dx\/.}$ (5.4)

    5.4. piemērs. 
    Aprēķināt puskubiskās parabolas $ y^2=x^3$ loka garumu starp punktiem $ O(0,0)$, $ A(1,1)$ (5.8. zīm.).

    \begin{multline*}
s=\int\limits_0^1\sqrt{1+\Biggl(\left(\sqrt{x^3}\,\right)'\Big...
...}(4+9x)^{\frac{3}{2}}\Big\vert _0^1=\frac{1}{27}(13\sqrt{13}-8).
\end{multline*}

    5.8. zīm.

  2. Jāaprēķina garums parametriskā veidā uzdotas līknes lokam ar vienādojumiem

    $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}
x=\varphi(t), \\
y=\psi(t), \
\end{array}\right.\quad \alpha\leq t\leq\beta\/.$

    Funkcijas $ \varphi(t)$ intervālā $ [\alpha;\beta]$ ir stingri monotona un nepārtraukti diferencējama, bet $ \psi(t)$ ir nepārtraukti diferencējama. Ja parametrs $ t$ mainās no $ \alpha$ līdz $ \beta$, tad $ x$ mainās no $ a$ līdz $ b$.

    Vienādojumu sistēma

    $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}
x=\varphi(t), \\
y=\psi(t), \
\end{array}\right.\quad \alpha\leq t\leq\beta$

    parametriskā veidā uzdod intervālā $ [a;b]$ nepārtraukti diferencējamu funkciju $ f(x)$. Atbilstošās līknes garumu var aprēķināt pēc formulas

    $\displaystyle s=\int\limits_a^b\sqrt{1+f^{\prime\,2}(x)}\;dx\/.$

    Šajā formulā izpilda mainīgā aizvietošanu.

    $\displaystyle x=\varphi(t),$   pie tam$\displaystyle \quad
f'(x)=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)},\quad dx=\varphi'(t)dt\/.$

    Iegūst

    $\displaystyle s=\int\limits_\alpha^\beta\sqrt{1+
\left(\frac{\psi'(t)}{\varphi'...
...int\limits_\alpha^\beta\sqrt{\varphi^{\prime\,2}(t)+\psi^{\prime\,2}(t)}\;dt\/.$

    Tādējādi

    $\displaystyle \boxed{s=\int\limits_\alpha^\beta\sqrt{\varphi^{\prime\,2}(t)+\psi^{\prime\,2}(t)}\;dt\/.}$ (5.5)

    5.5. piemērs. 
    Aprēķināt cikloīdas

    $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}
x=a(t-\sin t), \\
y=a(1-\cos t) \
\end{array}\right.$

    vienas arkas garumu (5.9. zīm.).

    5.9. zīm.

    Vienu arku iegūst, parametru $ t$ izmainot no 0 līdz $ 2\pi$.

    Tā kā $ x'=a(1-\cos t)$, $ y'=a\sin t$, tad

    \begin{multline*}
s=\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{a^2(1-\cos
t)^2+a^2\sin^2t}\;dt=a\...
...i}\sin\frac{t}{2}\,dt=-4a\cos\frac{t}{2}\Bigg\vert _0^{2\pi}=8a.
\end{multline*}

    5.2. piezīme. 
    Formula (5.5) ir spēkā arī tādai parametriskā veidā uzdotai līknei

    $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}
x=\varphi(t), \\
y=\psi(t), \
\end{array}\right.\quad\alpha\leq t\leq\beta\/,$

    kas nav kaut kādas funkcijas grafiks. Svarīgi, lai tikai funkcijas $ \varphi(t)$, $ \psi(t)$ būtu nepārtraukti diferencējamas minētajā intervālā.
  3. Jāaprēķina garums līknei, kas uzdota polārajās koordinātās ar vienādojumu $ \rho=\rho(\varphi)$, $ \alpha\leq\varphi\leq\beta$, pie tam funkcija $ \rho(\varphi)$ nepārtraukti diferencējama dotajā intervālā.


    Parametrizē šo līkni

    $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}
x=\rho(\varphi)\cos\varphi, \\
y=\rho(\varphi)\sin\varphi, \
\end{array}\right.\quad\alpha\leq \varphi\leq\beta\/.$

    Atrod

    $\displaystyle x'=\rho'(\varphi)\cos\varphi-\rho(\varphi)\sin\varphi,$    
    $\displaystyle y'=\rho'(\varphi)\sin\varphi+\rho(\varphi)\cos\varphi,$    

    \begin{multline*}
x^{\prime\,2}+y^{\prime\,2}=\bigl(\rho'(\varphi)\cos\varphi-\...
...cos\varphi\bigr)^2=\rho^2(\varphi)+
\rho^{\prime\,2}(\varphi).
\end{multline*}

    Pielieto formulu (5.5) un iegūst, ka

    $\displaystyle \boxed{s=\int\limits_\alpha^\beta\sqrt{\rho^2(\varphi)+\rho^{\prime\,2}(\varphi)}\;d\varphi\/.}$ (5.6)

    5.6. piemērs. 
    Aprēķināt kardioīdas $ \rho=a(1-\cos\varphi)$ garumu (skat. 5.10. zīm.).

    5.10. zīm.

    Atrod $ \rho'=a\sin\varphi$,

    $\displaystyle \rho^2+\rho^{\prime\,2}=a^2(1-\cos\varphi)^2+a^2\sin^2\varphi=a^2(2-2\cos\varphi)=
2a^2(1-\cos\varphi)\/.$

    $\displaystyle s=2\int\limits_0^{\pi}\sqrt{2a^2(1-\cos\varphi)}\;d\varphi=
2a\cdot 2\int\limits_0^{\pi}\sin\frac{\varphi}{2}d\varphi=8a\/.$


nākamais augstāk iepriekšējais saturs Matemātika DU TSC
Nākamais: 5.4. Ķermeņa tilpuma aprēķināšana ar noteikto Augstāk: 5. NOTEIKTĀ INTEGRĀĻA LIETOJUMI Iepriekšējais: 5.2. Rektificējama (iztaisnojama) līkne un tās

2002-11-06