Matemātika DU TSC
Nākamais: 5.4. Ķermeņa tilpuma aprēķināšana ar noteikto Augstāk: 5. NOTEIKTĀ INTEGRĀĻA LIETOJUMI Iepriekšējais: 5.2. Rektificējama (iztaisnojama) līkne un tās

5.3. Līknes garuma aprēķināšana ar noteikto integrāli

1. Jāaprēķina garums līknei $AB$, kas ir intervālā $[a;b]$ nepārtraukti diferencējamas funkcijas $f(x)$ grafiks.
   Ja izveido līknes $AB$ sasmalcinājumu, tad iegūst arī intervāla $[a;b]$ sasmalcinājumu
   $$a=x_0<x_1<\cdots<x_{k-1}<x_k<\cdots<x_n=b\/,$$
   kur $x_k$ ir punkta $M_k$ abscisa (5.7. zīm.).

   

   5.7. zīm.
   Punkta $M_k$ ordināta $y_k=f(x_k)$. Tādējādi $M_{k-1}\bigl(x_{k-1},f(x_{k-1})\bigr)$, $M_k\bigl(x_k,f(x_k)\bigr)$ un
   $$\begin{multline*} M_{k-1}M_k=\sqrt{(x_k-x_{k-1})^2+\bigl(f(x_k)-f(x_{k-1})\bigr... ..._k-x_{k-1})\bigr)^2} =\sqrt{1+f^{\prime\,2}(\xi_k)}\Delta x_k, \end{multline*}$$
   
   
   kur $\Delta x_k=x_k-x_{k-1}$, $\xi_k\in[x_{k-1},x_k]$.
   Starpība $f(x_k)-f(x_{k-1})$ tika pārveidota pēc Lagranža formulas. Ievilktās lauztās līnijas perimetrs
   $$P=\sum\limits_{k=1}^n\sqrt{1+f^{\prime\,2}(\xi_k)}\Delta x_k$$
   ir intervālā $[a;b]$ nepārtrauktas funkcijas $\sqrt{1+f^{\prime\,2}(x)}$ integrālsumma.
   Šī funkcija ir integrējama kā nepārtraukta funkcija, tāpēc integrālsummai eksistē galīga robeža, kad $\lambda\rightarrow 0$ (ja $\lambda=\max\limits_{1\leq k\leq k}M_{k-1}M_k\rightarrow 0$, tad arī $\lambda^*=\max\limits_{1\leq k\leq n}\Delta x_k\rightarrow 0$ un otrādi).
   Robeža ir vienāda ar šādu noteikto integrāli:
   $$\lim\limits_{\lambda\rightarrow 0}\sum\limits_{k=1}^n\sqrt{1+f^{\prime\,2}(\xi_k)}\Delta x_k= \int\limits_a^b\sqrt{1+f^{\prime\,2}(x)}dx\/.$$
   Tādējādi līkne $AB$ ir rektificējama un tās garums

   $$\boxed{s=\int\limits_a^b\sqrt{1+f^{\prime\,2}(x)}dx\/.}$$ (5.4)

   
   

   5.4. piemērs. 

   Aprēķināt puskubiskās parabolas $y^2=x^3$ loka garumu starp punktiem $O(0,0)$, $A(1,1)$ (5.8. zīm.).

   $$\begin{multline*} s=\int\limits_0^1\sqrt{1+\Biggl(\left(\sqrt{x^3}\,\right)'\Big... ...}(4+9x)^{\frac{3}{2}}\Big\vert _0^1=\frac{1}{27}(13\sqrt{13}-8). \end{multline*}$$
   
   

   

   5.8. zīm.

2. Jāaprēķina garums parametriskā veidā uzdotas līknes lokam ar vienādojumiem
   $$\left\{\begin{array}{c} x=\varphi(t), \\ y=\psi(t), \ \end{array}\right.\quad \alpha\leq t\leq\beta\/.$$

   Funkcijas $\varphi(t)$ intervālā $[\alpha;\beta]$ ir stingri monotona un nepārtraukti diferencējama, bet $\psi(t)$ ir nepārtraukti diferencējama. Ja parametrs $t$ mainās no $\alpha$ līdz $\beta$, tad $x$ mainās no $a$ līdz $b$.

   Vienādojumu sistēma
   $$\left\{\begin{array}{c} x=\varphi(t), \\ y=\psi(t), \ \end{array}\right.\quad \alpha\leq t\leq\beta$$
   parametriskā veidā uzdod intervālā $[a;b]$ nepārtraukti diferencējamu funkciju $f(x)$. Atbilstošās līknes garumu var aprēķināt pēc formulas
   $$s=\int\limits_a^b\sqrt{1+f^{\prime\,2}(x)}\;dx\/.$$
   Šajā formulā izpilda mainīgā aizvietošanu.
   $$x=\varphi(t),$$   pie tam$$\quad f'(x)=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)},\quad dx=\varphi'(t)dt\/.$$
   Iegūst
   $$s=\int\limits_\alpha^\beta\sqrt{1+ \left(\frac{\psi'(t)}{\varphi'... ...int\limits_\alpha^\beta\sqrt{\varphi^{\prime\,2}(t)+\psi^{\prime\,2}(t)}\;dt\/.$$
   Tādējādi

   $$\boxed{s=\int\limits_\alpha^\beta\sqrt{\varphi^{\prime\,2}(t)+\psi^{\prime\,2}(t)}\;dt\/.}$$ (5.5)

   
   

   5.5. piemērs. 

   Aprēķināt cikloīdas

   $$\left\{\begin{array}{l} x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t) \ \end{array}\right.$$

   vienas arkas garumu (5.9. zīm.).

   

   5.9. zīm.

   Vienu arku iegūst, parametru $t$ izmainot no 0 līdz $2\pi$.

   Tā kā $x'=a(1-\cos t)$, $y'=a\sin t$, tad

   $$\begin{multline*} s=\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{a^2(1-\cos t)^2+a^2\sin^2t}\;dt=a\... ...i}\sin\frac{t}{2}\,dt=-4a\cos\frac{t}{2}\Bigg\vert _0^{2\pi}=8a. \end{multline*}$$

   
   

   5.2. piezīme. 

   Formula (5.5) ir spēkā arī tādai parametriskā veidā uzdotai līknei

   $$\left\{\begin{array}{l} x=\varphi(t), \\ y=\psi(t), \ \end{array}\right.\quad\alpha\leq t\leq\beta\/,$$

   kas nav kaut kādas funkcijas grafiks. Svarīgi, lai tikai funkcijas $\varphi(t)$, $\psi(t)$ būtu nepārtraukti diferencējamas minētajā intervālā.

3. Jāaprēķina garums līknei, kas uzdota polārajās koordinātās ar vienādojumu $\rho=\rho(\varphi)$, $\alpha\leq\varphi\leq\beta$, pie tam funkcija $\rho(\varphi)$ nepārtraukti diferencējama dotajā intervālā.

   
   Parametrizē šo līkni

   $$\left\{\begin{array}{l} x=\rho(\varphi)\cos\varphi, \\ y=\rho(\varphi)\sin\varphi, \ \end{array}\right.\quad\alpha\leq \varphi\leq\beta\/.$$
   Atrod

   $$x'=\rho'(\varphi)\cos\varphi-\rho(\varphi)\sin\varphi,$$

   $$y'=\rho'(\varphi)\sin\varphi+\rho(\varphi)\cos\varphi,$$

   
   
   $$\begin{multline*} x^{\prime\,2}+y^{\prime\,2}=\bigl(\rho'(\varphi)\cos\varphi-\... ...cos\varphi\bigr)^2=\rho^2(\varphi)+ \rho^{\prime\,2}(\varphi). \end{multline*}$$
   
   
   Pielieto formulu (5.5) un iegūst, ka

   $$\boxed{s=\int\limits_\alpha^\beta\sqrt{\rho^2(\varphi)+\rho^{\prime\,2}(\varphi)}\;d\varphi\/.}$$ (5.6)

   
   

   5.6. piemērs. 

   Aprēķināt kardioīdas $\rho=a(1-\cos\varphi)$ garumu (skat. 5.10. zīm.).

   

   5.10. zīm.

   Atrod $\rho'=a\sin\varphi$,

   $$\rho^2+\rho^{\prime\,2}=a^2(1-\cos\varphi)^2+a^2\sin^2\varphi=a^2(2-2\cos\varphi)= 2a^2(1-\cos\varphi)\/.$$

   $$s=2\int\limits_0^{\pi}\sqrt{2a^2(1-\cos\varphi)}\;d\varphi= 2a\cdot 2\int\limits_0^{\pi}\sin\frac{\varphi}{2}d\varphi=8a\/.$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 5.4. Ķermeņa tilpuma aprēķināšana ar noteikto Augstāk: 5. NOTEIKTĀ INTEGRĀĻA LIETOJUMI Iepriekšējais: 5.2. Rektificējama (iztaisnojama) līkne un tās