Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.5. Jautājumi Augstāk: 4. KVADRĒJAMĪBAS KRITĒRIJI Iepriekšējais: 4.3.2. Līklīnijas sektora kvadrējamība un tās

4.4. Plaknes figūras laukuma īpašības

4.3. teorēma. 

[Laukuma aditivitāte]

Ja $F_1$, $F_2$ ir kvadrējamas plaknes figūras, kurām nav kopīgu iekšējo punktu un $F=F_1\cup F_2$, tad $F$ ir kvadrējama figūra, pie tam

$$mF=mF_1+mF_2\/.$$

$\blacktriangleright$ Tā kā $F_1$ un $F_2$ ir kvadrējamas plaknes figūras, tad jebkuram $\varepsilon >0$ eksistē tādi planes daudzstūri $P_1$, $Q_1$ un $P_2$, $Q_2$ ( $P_1\subset F_1\subset Q_1$; $P_2\subset F_2\subset Q_2$), ka

$$mQ_1-mP_1<\frac{\varepsilon}{2},\quad mQ_2-mP_2<\frac{\varepsilon}{2}\/.$$

Apskata plaknes daudzstūrus $P=P_1\cup P_2$, $Q=Q_1\cup Q_2$. Acīmredzami, $P\subset F\subset Q$.

Plaknes daudzstūriem $P_1$ un $P_2$ nav kopīgu iekšējo punktu, tāpēc

$$mP=mP_1+mP_2\/.$$

Plaknes daudzstūriem $Q_1$ un $Q_2$ var būt arī kopīgi iekšējie punkti, tāpēc

$$mQ\leq mQ_1+mQ_2\/.$$

Apskata

$$\begin{multline*} mQ-mP\leq(mQ_1+mQ_2)-(mP_1+mP_2)=\\ =(mQ_1-mP_1)+(mQ_2-mP_2)< \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\/. \end{multline*}$$

Saskaņā ar kvadrējamības 1. kritēriju (skat. 4.1. teorēmu) $F$ ir kvadrējama figūra, pie tam $mP\leq mF\leq mQ$.

Tādējādi

$$mP_1+mP_2\leq mF\leq mQ_1+mQ_2.$$ (4.3)

No sakarībām $P_1\subset F_1\subset Q_1$; $P_2\subset F_2\subset Q_2$ seko, ka

$$mP_1\leq mF_1\leq mQ_1;\quad mP_2\leq mF_2\leq mQ_2\/.$$

Saskaitot šīs nevienādības iegūst, ka

$$mP_1+mP_2\leq mF_1+mF_2\leq mQ_1+mQ_2.$$ (4.4)

No nevienādībām (4.3) un (4.4) seko, ka divas konstantes $mF$ un
$(mF_1+mF_2)$ ir iekļautas starp lielumiem $(mP_1+mP_2)$ un $(mQ_1+mQ_2)$, kuri var kļūt pēc patikas tuvi, tāpēc

$$mF=mF_1+mF_2\/.\;\;\blacktriangleleft$$

4.1. piezīme. 

$\phantom{}$

1. No plaknes daudzstūra laukuma invariances (vai monotonitātes) un plaknes figūras laukuma definīcijas izriet plaknes figūras laukuma invariance (vai monotonitāte).
2. Divu plaknes kvadrējamu figūru starpība $F_1\setminus F_2$ un šķēlums $F_1\cap F_2$ ir kvadrējamas figūras.
3. Ar matemātiskās indukcijas metodi laukuma aditivitātes īpašību var vispārināt attiecībā uz jebkura galīga skaita kvadrējamu figūru, kurām nav kopīgu iekšējo punktu, apvienojumu.
4. Analogi var definēt kubējamu telpas ķermeni $F$, tā tilpumu $mF$, formulēt un pierādīt kubējamības kritērijus un tilpuma īpašības.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.5. Jautājumi Augstāk: 4. KVADRĒJAMĪBAS KRITĒRIJI Iepriekšējais: 4.3.2. Līklīnijas sektora kvadrējamība un tās