Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.4. Plaknes figūras laukuma īpašības Augstāk: 4.3. Kvadrējamu figūru piemēri Iepriekšējais: 4.3.1. Līklīnijas trapeces kvadrējamība un tās

4.3.2. Līklīnijas sektora kvadrējamība un tās laukums

Polārajā koordinātu sistēmā apskata plaknes figūru $F$, kuru ierobežo divi stari $\varphi=\alpha$, $\varphi=\beta$ un intervālā nepārtrauktas un nenegatīvas funkcijas $\rho=\rho(\varphi)$ grafiks (4.3. zīm.).

Šādu plaknes figūru sauc par līklīnijas sektoru.

4.3. zīm.

Lai pierādītu līklīnijas sektora kvadrējamību un aprēķinātu tā laukumu, rīkojas šādi:

• izveido intervāla $[\alpha;\beta]$ sasmalcinājumu
  $$\alpha=\varphi_0<\varphi_1<\cdots<\varphi_{k-1}<\varphi_k<\cdots\cdots<\varphi_n=\beta\/;$$

• apzīmē ar
  $$m_k=\inf\limits_{[\varphi_{k-1};\varphi_k]}\rho(\varphi)= \min\limits_{[\varphi_{k-1};\varphi_k]}\rho(\varphi)\/,$$
  $$M_k=\sup\limits_{[\varphi_{k-1};\varphi_k]}\rho(\varphi)= \max\limits_{[\varphi_{k-1};\varphi_k]}\rho(\varphi)\/,$$
  $(k=1,2,\ldots,n)$.

Līklīnijas sektorā $F$ ievelk kvadrējamu plaknes figūru $P$, kas sastāv no tādiem riņķa sektoriem, kuriem centra leņķi ir $\Delta\varphi_k=\varphi_k-\varphi_{k-1}$ un rādiusi atbilstoši $m_k$.

Analogi ap $F$ apvelk kvadrējamu plaknes figūru $Q$ (šoreiz riņķa sektoru rādiusi ir $M_k$).

Aprēķina $P$ un $Q$ laukumus:

$$mP=\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^nm_k^2\Delta\varphi_k,\quad mQ=\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^nM_k^2\Delta\varphi_k\/.$$

Skaitļus $mP$ un $mQ$ var uzskatīt par funkcijas $\frac{1}{2}\rho^2(\varphi)$ Darbū summām, kas atbilst izveidotajam intervāla $[\alpha;\beta]$ sasmalcinājumam. Tādējādi
$s=mP$ un $S=mQ$.

Tā kā funkcija $\frac{1}{2}\rho^2(\varphi)$ nepārtraukta intervālā $[\alpha;\beta]$, tad tā ir integrējama šajā intervālā un saskaņā ar integrējamības kritēriju jebkuram $\varepsilon >0$ eksistē tāds $\delta_\varepsilon>0$, ka visiem intervāla $[\alpha;\beta]$ sasmalcinājumiem ar soli $\lambda <\delta$ izpildās nevienādība $S-s<\varepsilon$. Tādējādi eksistē tādas kvadrējamas plaknes figūras $P$ un $Q$ $(P\subset F\subset Q)$, ka $mQ-mP<\varepsilon$. Saskaņā ar kvadrējamības 2. kritēriju (skat. 4.2. teorēmu) $F$ ir kvadrējama figūra.

Apzīmē integrāli $\frac{1}{2}\int\limits_\alpha^\beta\rho^2(\varphi)d\varphi$ ar $\mathfrak{I}$ un līklīnijas sektora laukumu ar $mF$. Tā kā divas konstantes $\mathfrak{I}$ un $mF$ ir iekļautas starp $mP$ un $mQ$, kuri var kļūt pēc patikas tuvi, tad $mF=\mathfrak{I}$ jeb

$$\boxed{mF=\frac{1}{2}\int\limits_\alpha^\beta\rho^2(\varphi)d\varphi.}$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.4. Plaknes figūras laukuma īpašības Augstāk: 4.3. Kvadrējamu figūru piemēri Iepriekšējais: 4.3.1. Līklīnijas trapeces kvadrējamība un tās