Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.3. Kvadrējamu figūru piemēri Augstāk: 4. KVADRĒJAMĪBAS KRITĒRIJI Iepriekšējais: 4.1. Plaknes figūras laukums

4.2. Plaknes figūras kvadrējamības kritēriji

4.1. teorēma. 

[Kvadrējamības 1. kritērijs]

Plaknes figūra $F$ kvadrējama tad un tikai tad, ja jebkuram $\varepsilon >0$ eksistē tāds ievilkts plaknes daudzstūris $P$ un tāds apvilkts plaknes daudzstūris $Q$ $(P\subset F\subset Q)$, ka

$$mQ-mP<\varepsilon\/.$$

$\blacktriangleright$ Nepieciešamība.

Tā kā $F$ - kvadrējama figūra, tad $m_*F=m^*F$. Saskaņā ar kopas $\{mP\}$ augšējā sliekšņa $m_*F$ definīciju jebkuram $\varepsilon >0$ eksistē tāds plaknes daudzstūris $P$ $(P\subset F)$, ka

$$mP>m_*F-\frac{\varepsilon}{2}.$$ (4.1)

Analogi eksistē tāds $Q$ $(F\supset Q)$, ka

$$mQ<m^*F+\frac{\varepsilon}{2}.$$ (4.2)

No nevienādības (4.2) atņem (4.1) un iegūst

$$mQ-mP<\varepsilon\/.$$

Pietiekamība.

Šoreiz jebkuram $\varepsilon >0$ eksistē tādi plaknes daudzstūri $P$ un $Q$
$(P\subset F\subset Q)$, ka $mQ-mP<\varepsilon$.

No $F$ iekšējā laukuma un ārējā laukuma definīcijas seko, ka

$$mP\leq m_*F\leq m^*F\leq mQ\/.$$

Tāpēc

$$0\leq m^*F-m_*F\leq mQ-mP\/.$$

Tā kā $mQ-mP<\varepsilon$, tad $0\leq m^*F-m_*F<\varepsilon$. Nenegatīvā konstante $m^*F-m_*F$ var kļūt pēc patikas maza tikai tad, kad tā ir nulle.

Tādējādi $m^*F=m_*F$. Plaknes figūra $F$ - kvadrējama. $\blacktriangleleft$

4.2. teorēma. 

[Kvadrējamības 2. kritērijs]

Plaknes figūra $F$ kvadrējama tad un tikai tad, ja jebkuram $\varepsilon >0$ eksistē tāda ievilkta kvadrējama plaknes figūra $P$ un tāda apvilkta kvadrējama plaknes figūra $Q$ $(P\subset F\subset Q)$, ka

$$mQ-mP<\varepsilon\/.$$

$\blacktriangleright$ Nepieciešamība.

Saskaņā ar kvadrējamības 1. kritēriju (skat. 4.1. teorēmu) par tādām kvadrējamām plaknes figūrām var izvēlēties plaknes daudzstūrus.

Pietiekamība.

Šoreiz jebkuram $\varepsilon >0$ eksistē tādas kvadrējamas plaknes figūras $P$ un $Q$ $(P\subset F\subset Q)$, ka

$$mQ-mP<\frac{\varepsilon}{2}\/.$$

Tā kā $Q$ - kvadrējama plaknes figūra, tad eksistē tāds plaknes daudzstūris $\overline{Q}$ $(\overline{Q}\supset Q)$, ka

$$m\overline{Q}-mQ<\frac{\varepsilon}{4}\/.$$

Analogi eksistē tāds plaknes daudzstūris $\overline{P}$ $(\overline{P}\subset P)$, ka

$$mP-m\overline{P}<\frac{\varepsilon}{4}\/.$$

Plaknes daudzstūriem $\overline{P}$, $\overline{Q}$ $(\overline{P}\subset F\subset\overline{Q})$ izpildās

$$m\overline{Q}-m\overline{P}=(m\overline{Q}-mQ)+(mQ-mP)+(mP-m\over... ...frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{4}=\varepsilon\/.$$

Plaknes figūra $F$ ir kvadrējama saskaņā ar kvadrējamības 1. kritēriju (skat. 4.1. teorēmu). $\blacktriangleleft$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.3. Kvadrējamu figūru piemēri Augstāk: 4. KVADRĒJAMĪBAS KRITĒRIJI Iepriekšējais: 4.1. Plaknes figūras laukums