Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.3.2. Līklīnijas sektora kvadrējamība un tās Augstāk: 4.3. Kvadrējamu figūru piemēri Iepriekšējais: 4.3. Kvadrējamu figūru piemēri

4.3.1. Līklīnijas trapeces kvadrējamība un tās laukums

Apskata plaknes figūru $F$, kuru no augšas ierobežo intervālā $[a;b]$ nepārtrauktas un nenegatīvas funkcijas $f(x)$ grafiks, no apakšas $Ox$ ass nogrieznis $[a;b]$ un no sāniem taisnes $x=a$, $x=b$. Kā zināms, tādu plaknes figūru sauc par līklīnijas trapeci (4.2. zīm.).

4.2. zīm.

Izveido intervāla $[a;b]$ sasmalcinājumu

$$a=x_0<x_1<\cdots<x_{k-1}<x_k<\cdots<x_{n-1}<x_n=b$$

ar sasmalcinājuma soli $\lambda=\max\limits_{1\leq k\leq n}\Delta x_k$.

Apzīmē ar

$$m_k=\inf\limits_{[x_{k-1};x_k]}f(x)=\min\limits_{[x_{k-1};x_k]}f(x)$$

un

$$M_k=\sup\limits_{[x_{k-1};x_k]}f(x)=\max\limits_{[x_{k-1};x_k]}f(x)\quad (k=1, 2,\ldots,n)\/.$$

Izveido plaknes daudzstūri $P$, kas sastāv no tādiem taisnstūriem, kuriem par pamatiem kalpo $Ox$ nogriežņi $[x_{k-1};x_k]$, bet par augstumiem atbilstoši $m_k$ $(k=1,2,\ldots,n)$. Acīmredzami $P\subset F$ (4.2. zīm.). Analogi izveido ap $F$ apvilktu plaknes daudzstūri $Q$ (šoreiz par taisnstūru augstumiem izvēlas $M_k$). Aprēķina $P$ un $Q$ laukumus:

$$mP=\sum\limits_{k=1}^nm_k\Delta x_k\/,\quad mQ=\sum\limits_{k=1}^nM_k\Delta x_k\/.$$

Saskaņā ar Darbū summu definīcijām šoreiz $s=mP$ un $S=mQ$.

Tā kā $f$ - intervālā $[a;b]$ nepārtraukta funkcija, tad tā ir integrējama šajā intervālā un saskaņā ar integrējamības kritēriju jebkuram $\varepsilon >0$ eksistē tāds $\delta_\varepsilon>0$, ka visiem intervāla $[a;b]$ sasmalcinājumiem ar soli $\lambda <\delta$ izpildās nevienādība $S-s<\varepsilon$. Tādējādi eksistē tādi plaknes daudzstūri $P$ un $Q$ $(P\subset F\subset Q)$, ka $mQ-mP<\varepsilon$. Saskaņā ar kvadrējamības 1. kritēriju (skat. 4.1. teorēmu) $F$ - kvadrējama figūra.

Apzīmē ar $\mathfrak{I}=\int\limits_a^bf(x)dx$. Zināms, ka $s\leq\mathfrak{I}\leq S$. Šoreiz $mP\leq\mathfrak{I}\leq mQ$, arī līklīnijas trapeces laukumiem izpildās nevienādība $mP\leq mF\leq mQ$. Divas konstantes $mF$ un $\mathfrak{I}$ ir iekļautas starp $mP$ un $mQ$, kuri var kļūt pēc patikas tuvi.

Seko, ka $mF=\mathfrak{I}$ jeb

$$\boxed{mF=\int\limits_a^bf(x)dx.}$$

Tādējādi ir pierādīta līklīnijas trapeces kvadrējamība un iegūta tās laukuma aprēķināšanas formula ar noteiktā integrāļa palīdzību.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 4.3.2. Līklīnijas sektora kvadrējamība un tās Augstāk: 4.3. Kvadrējamu figūru piemēri Iepriekšējais: 4.3. Kvadrējamu figūru piemēri