Matemātika
DU TSC
Nākamais: 2.6. Noteiktā integrāļa vispārinājums
Augstāk: 2. NOTEIKTAIS INTEGRĀLIS
Iepriekšējais: 2.4. Integrējamu funkciju klases
- Lemma.
- Ja funkcija
ir definēta kopā
un
visiem
izpildās nevienādība
(
- konstante), tad arī
, kur
Noteiktības dēļ pieņemsim, ka
. Saskaņā ar doto visiem
izpildās nevienādība
. Seko, ka

jeb
Fiksētam
šī nevienādība norāda, ka eksistē galīgs

jeb
No šīs nevienādības seko, ka visiem
izpildās
. Analogi eksistē galīgs

jeb
Tādējādi
- 1. īpašība.
- Ja
ir integrējama
funkcija intervālā
, tad arī
ir integrējama
funkcija šajā intervālā.
Apskata intervāla
patvaļīgu
sasmalcinājumu. Šim sasmalcinājumam un funkcijai
atbilstošās Darbū summas apzīmē ar
un
. Ar
un
apzīmē funkcijai
atbilstošās Darbū summas (sasmalcinājums
iepriekšējais). Saskaņā ar moduļa īpašību visiem
izpildās nevienādība
Tā kā
kur
,
, tad
Saskaņā ar lemmu (šoreiz funkcija ir
, bet
)
kur
,
. Tāpēc
.
Tā kā funkcija
ir integrējama intervālā
, tad pielietojot
2.2. teorēmu, viegli saskatīt, ka šajā intervālā ir
integrējama arī funkcija
.
-
2.6. piezīme.
- 1. īpašībai apgrieztais
apgalvojums nav spēkā.
Piemēram, funkcija
nav integrējama intervālā
.2.2 Šīs funkcijas modulis
ir integrējama
funkcija (kā konstante) šajā intervālā.
- 2. īpašība.
- Ja
ir integrējama
funkcija intervālā
, tad tā ir integrējama arī intervālā
.
(Pierādīt patstāvīgi).2.3
- 3. īpašība.
- Ja
un
ir
integrējamas funkcijas intervālā
, tad arī
ir
integrējama funkcija šajā intervālā, pie tam
Tā kā
ir integrējama funkcija intervālā
, tad jebkuram
eksistē tāds
,
ka intervāla
visiem sasmalcinājumiem ar soli
izpildās nevienādība
Analogi - iepriekš izvēlētajam
eksistē tāds
, ka intervāla
visiem sasmalcinājumiem ar
soli
izpildās nevienādība
Apskata
Nevienādība
norāda, ka
ir integrējama funkcija intervālā
, pie tam
jeb
-
2.7. piezīme.
- Ar matemātiskās indukcijas metodi šo īpašību var
vispārināt uz jebkuru galīga skaita integrējamu funkciju summu.
- 4. īpašība.
- Ja
ir integrējama
funkcija intervālā
un
ir patvaļīga konstante, tad
ir integrējama funkcija šajā intervālā, pie tam
Apskatīsim divus iespējamos gadījumus.
- Ja
, tad
un
ir integrējama funkcija (kā
konstante). Vienādība acīmredzami izpildās.
- Pieņemsim, ka
. Tā kā
ir integrējama funkcija intervālā
, tad jebkuram
eksistē
tāds
, ka intervāla
visiem sasmalcinājumiem ar
soli
izpildās nevienādība
kur
.
Apskata
Nevienādība
norāda, ka
ir integrējama funkcija intervālā
, pie
tam
-
2.8. piezīme.
- No 3. un
4. īpašības izriet noteiktā integrāļa linearitātes
īpašība, t.i., ja
ir intervālā
integrējamas funkcijas un
(
), tad arī
ir
integrējama funkcija šajā intervālā, pie tam
- 5. īpašība.
- Ja
ir integrējama
funkcija intervālā
un visiem
izpildās
nevienādība
, tad arī
Pieņem pretējo, t.i., ka
. Saskaņā ar noteiktā
integrāļa definīciju jebkuram
eksistē tāds
,
ka intervāla
visiem sasmalcinājumiem ar soli
izpildās nevienādība
Ja
, tad gan
, gan
(
).
Tā kā visi
, tad integrālsummā
ne visi locekļi ir
nenegatīvi, t.i., ne visi
ir nenegatīvi. Rodas pretruna
ar doto, ka visiem
.
- 6. īpašība.
- [Noteiktā integrāļa monotonitātes
īpašība]
Ja
ir integrējamas funkcijas intervālā
un visiem
izpildās nevienādība
, tad arī
Apskata funkciju
.
Funkcija
ir integrējama kā divu integrējamu funkciju
starpība un saskaņā ar 5. īpašību
jo visiem
.
Saskaņā ar noteiktā integrāļa linearitātes īpašību
Seko, ka
jeb
- 7. īpašība.
- [Noteiktā integrāļa
novērtējums]
Ja
ir integrējama funkcija intervālā
un visiem
izpildās nevienādība
, tad
(Pierādīt patstāvīgi2.4).
-
2.9. piezīme.
- Nenegatīvas un nepārtrauktas funkcijas gadījumā
7. īpašībai var sniegt šādu ģeometrisku
interpretāciju: līklīnijas trapeces laukums2.5 ir ieslēgts starp divu
šādu taisnstūru laukumiem (2.1. zīm.). Abiem taisnstūriem un
līklīnijas trapecei ir kopīgs pamats. Pirmā taisnstūra augstums ir
, bet otrā taisnstūra augstums ir
.
- 8. īpašība.
- Ja
ir integrējama funkcija
intervālā
, tad
Saskaņā ar 1. īpašību
ir integrējama funkcija intervālā
. Visiem
izpildās nevienādība
Saskaņā ar noteiktā integrāļa monotonitātes īpašību
jeb
- 9. īpašība.
- [Noteiktā integrāļa aditivitātes
īpašība]
Ja
ir integrējama funkcija intervālā
, tad
ir integrējama katrā no intervāliem
,
un
Saskaņā ar 2. īpašību
ir integrējama funkcija katrā no intervāliem
un
.
Apzīmē ar
,
,
. Atliek pierādīt, ka
.
Izveido intervāla
tādu sasmalcinājumu, lai par vienu tā
sadalījuma punktu būtu
.
Šim sasmalcinājumam atbilstošo integrālsummu
sadala summās
un
, kur
- funkcijas
integrālsumma intervālā
, bet
-
funkcijas
integrālsumma intervālā
.
Šajā vienādībā pāriet pie robežas, kad sasmalcinājuma solis
.
- 10. īpašība.
- [Teorēma par noteiktā
integrāļa vidējo vērtību]
Ja
- nepārtrauktas funkcijas intervālā
, pie tam
funkcija
šajā intervālā saglabā zīmi, tad eksistē tāds
, ka
Abi integrāļi eksistē, jo
un
-
nepārtrauktas funkcijas intervālā
(funkcija
-
nepārtraukta intervālā
kā divu nepārtrauktu funkciju
reizinājums).
Pieņem, ka visiem
.
Apzīmē ar
,
. Saskaņā ar Veierštrāsa otro teorēmu
eksistē tādi
, ka
,
.
Visiem
izpildās nevienādība
Reizina šo nevienādību ar
Saskaņā ar noteiktā integrāļa monotonitātes īpašību un
4. īpašību
Tā kā
, tad ir iespējami divi gadījumi:
-
.
No nevienādības seko, ka
, tāpēc par
der jebkurš intervāla
punkts.
-
.
Izdala nevienādību ar
.
No šīs nevienādības seko, ka
ir viena no funkcijas
starpvērtībām. Saskaņā ar
Bolcano-Veierštrāsa teorēmu par nepārtrauktas funkcijas
starpvērtībām eksistē tāds
, ka
jeb
- Sekas.
- Ja
ir nepārtraukta funkcija intervālā
, tad
eksistē tāds
, ka
.
Apskata funkciju
. Saskaņā ar teorēmu
par noteiktā integrāļa vidējo vērtību

jeb
-
2.10. piezīme.
-
- Nenegatīvas un nepārtrauktas funkcijas gadījumā šīm sekām var
sniegt šādu ģeometrisku interpretāciju: eksistē tāds
taisnstūris, kura laukums ir vienāds ar līklīnijas trapeces laukumu
(2.2. zīm.). Taisnstūrim un līklīnijas trapecei ir kopīgs pamats, bet
taisnstūra augstums ir
.
- Nosacījums, lai funkcija
saglabā zīmi, ir būtisks.
Piemēram, ja izvēlas divas intervālā
nepārtrauktas
funkcijas
, tad, izskaitļojot
integrāļus2.6

un
iegūst, ka

un
Šajā gadījumā nav tādas vērtības
, kurai izpildītos vienādība
Matemātika
DU TSC
Nākamais: 2.6. Noteiktā integrāļa vispārinājums
Augstāk: 2. NOTEIKTAIS INTEGRĀLIS
Iepriekšējais: 2.4. Integrējamu funkciju klases
2002-11-06