Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.6. Noteiktā integrāļa vispārinājums Augstāk: 2. NOTEIKTAIS INTEGRĀLIS Iepriekšējais: 2.4. Integrējamu funkciju klases

2.5. Noteiktā integrāļa īpašības

Lemma.

Ja funkcija $f$ ir definēta kopā $E$ un visiem $x',x''\in E$ izpildās nevienādība

$$\bigl\vert f(x')-f(x'')\bigr\vert\leq C$$

($C$ - konstante), tad arī $M-m\leq C$, kur

$$M=\sup\limits_E f(x),\quad m=\inf\limits_Ef(x).$$

$\blacktriangleright$ Noteiktības dēļ pieņemsim, ka $f(x')\geq f(x'')$. Saskaņā ar doto visiem $x',x''\in E$ izpildās nevienādība $\vert f(x')-f(x'')\vert<C$. Seko, ka

$$f(x')-f(x'')\leq C$$   jeb$$\quad f(x')\leq f(x'')+C\/.$$

Fiksētam $x''$ šī nevienādība norāda, ka eksistē galīgs

$$\sup_{x'\in E}f(x')\leq f(x'')+C$$   jeb$$\quad M\leq f(x'')+C\/.$$

No šīs nevienādības seko, ka visiem $x''\in E$ izpildās $f(x'')\geq M-C$. Analogi eksistē galīgs

$$\inf_{x'\in E}f(x'')\geq M-C$$   jeb$$\quad m\geq M-C\/.$$

Tādējādi

$$M-m\leq C\/.\;\blacktriangleleft$$

1. īpašība.

Ja $f$ ir integrējama funkcija intervālā $[a;b]$, tad arī $\vert f\vert$ ir integrējama funkcija šajā intervālā.

$\blacktriangleright$ Apskata intervāla $[a;b]$ patvaļīgu sasmalcinājumu. Šim sasmalcinājumam un funkcijai $f$ atbilstošās Darbū summas apzīmē ar $s$ un $S$. Ar $s'$ un $S'$ apzīmē funkcijai $\vert f\vert$ atbilstošās Darbū summas (sasmalcinājums iepriekšējais). Saskaņā ar moduļa īpašību visiem $x', x''\in [x_{k-1};x_k]$ izpildās nevienādība

$$\Bigl\vert\bigl\vert f(x')\bigr\vert-\bigl\vert f(x'')\bigr\vert\Bigr\vert\leq\bigl\vert f(x')-f(x'')\bigr\vert\/.$$

Tā kā

$$\bigl\vert f(x')-f(x'')\bigr\vert\leq M_k-m_k\/,$$

kur $m_k=\inf\limits_{[x_{k-1}; x_k]}f(x)$, $M_k=\sup\limits_{[x_{k-1}; x_k]}f(x)$, tad

$$\Bigl\vert\bigl\vert f(x')\bigr\vert-\bigl\vert f(x'')\bigr\vert\Bigr\vert\leq M_k-m_k\/.$$

Saskaņā ar lemmu (šoreiz funkcija ir $\vert f\vert$, bet $C=M_k-m_k$)

$$M_k'-m_k'\leq M_k-m_k\/,$$

kur $M_k'=\sup\limits_{[x_{k-1};x_k]}\bigl\vert f(x)\bigr\vert$, $m_k'=\inf\limits_{[x_{k-1};x_k]}\bigl\vert f(x)\bigr\vert$. Tāpēc $S'-s'\leq S-s$.

Tā kā funkcija $f$ ir integrējama intervālā $[a,b]$, tad pielietojot 2.2. teorēmu, viegli saskatīt, ka šajā intervālā ir integrējama arī funkcija $\vert f\vert$. $\blacktriangleleft$

2.6. piezīme. 

1. īpašībai apgrieztais apgalvojums nav spēkā.

Piemēram, funkcija

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ccl} 1, & \text{ja} & x~-\text{intervāl... ... & x~-\text{intervāla}\; [a;b]\; \text{iracionāls skaitlis,} \end{array}\right.$$

nav integrējama intervālā $[a;b]$.^2.2 Šīs funkcijas modulis $\vert f(x)\vert=1$ ir integrējama funkcija (kā konstante) šajā intervālā.

2. īpašība.

Ja $f$ ir integrējama funkcija intervālā $[a;b]$, tad tā ir integrējama arī intervālā $[c;d]\subset [a;b]$.

(Pierādīt patstāvīgi).^2.3

3. īpašība.

Ja $f$ un $g$ ir integrējamas funkcijas intervālā $[a;b]$, tad arī $(f+g)$ ir integrējama funkcija šajā intervālā, pie tam

$$\int\limits_a^b\bigl(f(x)+g(x)\bigr)dx=\int\limits_a^bf(x)dx+ \int\limits_a^bg(x)dx\/.$$

$\blacktriangleright$ Tā kā $f$ ir integrējama funkcija intervālā $[a;b]$, tad jebkuram $\varepsilon >0$ eksistē tāds $\delta_1 >0$, ka intervāla $[a;b]$ visiem sasmalcinājumiem ar soli $\lambda <\delta_1$ izpildās nevienādība

$$\left\vert\sum\limits_{k=1}^nf(\xi_k)\Delta x_k-\mathfrak{I}_1\ri... ...im\limits_{\lambda\rightarrow 0}\sum\limits_{k=1}^nf(\xi_k)\Delta x_k\right)\/.$$

Analogi - iepriekš izvēlētajam $\varepsilon >0$ eksistē tāds $\delta_2 >0$, ka intervāla $[a;b]$ visiem sasmalcinājumiem ar soli $\lambda <\delta_2$ izpildās nevienādība

$$\left\vert\sum\limits_{k=1}^ng(\xi_k)\Delta x_k-\mathfrak{I}_2\ri... ...im\limits_{\lambda\rightarrow 0}\sum\limits_{k=1}^ng(\xi_k)\Delta x_k\right)\/.$$

Apskata

$$\begin{multline*} \left\vert\sum\limits_{k=1}^n\bigl(f(\xi_k)+g(\xi_k)\bigr)\Del... ...ht\vert<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. \end{multline*}$$

Nevienādība

$$\left\vert\sum\limits_{k=1}^n\bigl(f(\xi_k)+g(\xi_k)\bigr)\Delta x_k- (\mathfrak{I}_1-\mathfrak{I}_2)\right\vert<\varepsilon$$

norāda, ka $(f+g)$ ir integrējama funkcija intervālā $[a;b]$, pie tam

$$\int\limits_a^b\bigl(f(x)+g(x)\bigr)dx=\mathfrak{I}_1+\mathfrak{I}_2$$

jeb

$$\int\limits_a^b\bigl(f(x)+g(x)\bigr)dx=\int\limits_a^bf(x)dx+ \int\limits_a^bg(x)dx\/.\;\blacktriangleleft$$

2.7. piezīme. 

Ar matemātiskās indukcijas metodi šo īpašību var vispārināt uz jebkuru galīga skaita integrējamu funkciju summu.

4. īpašība.

Ja $f$ ir integrējama funkcija intervālā $[a;b]$ un $C$ ir patvaļīga konstante, tad $C\cdot f$ ir integrējama funkcija šajā intervālā, pie tam

$$\int\limits_a^bCf(x)dx=C\int\limits_a^bf(x)dx\/.$$

$\blacktriangleright$ Apskatīsim divus iespējamos gadījumus.

1. Ja $C=0$, tad $Cf(x)=0$ un $Cf$ ir integrējama funkcija (kā konstante). Vienādība acīmredzami izpildās.
2. Pieņemsim, ka $C\neq 0$. Tā kā $f$ ir integrējama funkcija intervālā $[a;b]$, tad jebkuram $\varepsilon >0$ eksistē tāds $\delta >0$, ka intervāla $[a;b]$ visiem sasmalcinājumiem ar soli $\lambda <\delta$ izpildās nevienādība
   $$\left\vert\sum\limits_{k=1}^nf(\xi_k)\Delta x_k- \mathfrak{I}\right\vert<\frac{\varepsilon}{\vert C\vert}\/,$$
   kur $\mathfrak{I}=\int\limits_a^bf(x)dx$.
   Apskata
   $$\left\vert\sum\limits_{k=1}^nCf(\xi_k)\Delta x_k- C\mathfrak{I}\r... ...athfrak{I}\right\vert<\vert C\vert\frac{\varepsilon}{\vert C\vert}=\varepsilon.$$
   Nevienādība
   $$\left\vert\sum\limits_{k=1}^nCf(\xi_k)\Delta x_k- C\mathfrak{I}\right\vert<\varepsilon$$
   norāda, ka $(Cf)$ ir integrējama funkcija intervālā $[a;b]$, pie tam
   $$\int\limits_a^bCf(x)dx=C\int\limits_a^bf(x)dx\/.\;\blacktriangleleft$$

2.8. piezīme. 

No 3. un 4. īpašības izriet noteiktā integrāļa linearitātes īpašība, t.i., ja $f_1, f_2,\ldots, f_n$ ir intervālā $[a;b]$ integrējamas funkcijas un $C_k\in \mathbb{R}$ ( $k=1,2,\ldots,n$), tad arī $\sum\limits_{k=1}^nC_kf_k$ ir integrējama funkcija šajā intervālā, pie tam

$$\int\limits_a^b\sum\limits_{k=1}^nC_kf_k(x)dx= \sum\limits_{k=1}^nC_k\int\limits_a^bf_k(x)dx\/.$$

5. īpašība.

Ja $f$ ir integrējama funkcija intervālā $[a;b]$ un visiem $x\in[a;b]$ izpildās nevienādība $f(x)\geq 0$, tad arī

$$\int\limits_a^bf(x)dx\geq 0\/.$$

$\blacktriangleright$ Pieņem pretējo, t.i., ka $\mathfrak{I}=\int\limits_a^bf(x)dx<0$. Saskaņā ar noteiktā integrāļa definīciju jebkuram $\varepsilon=\frac{\vert\mathfrak{I}\vert}{2}>0$ eksistē tāds $\delta >0$, ka intervāla $[a;b]$ visiem sasmalcinājumiem ar soli $\lambda <\delta$ izpildās nevienādība

$$\mathfrak{I}-\varepsilon<\sigma<\mathfrak{I}+\varepsilon\/.$$

Ja $\varepsilon=\frac{\vert\mathfrak{I}\vert}{2}>0$, tad gan $\mathfrak{I}-\varepsilon<0$, gan $\mathfrak{I}+\varepsilon<0$ ( $\mathfrak{I}<0$).

Tā kā visi $\Delta x_k>0$, tad integrālsummā $\sigma=\sum\limits_{k=1}^nf(\xi_k)\Delta x_k$ ne visi locekļi ir nenegatīvi, t.i., ne visi $f(\xi_k)$ ir nenegatīvi. Rodas pretruna ar doto, ka visiem $x\in[a;b]$ $f(x)\geq 0$. $\blacktriangleleft$

6. īpašība.

[Noteiktā integrāļa monotonitātes īpašība]

Ja $f,g$ ir integrējamas funkcijas intervālā $[a;b]$ un visiem $x\in[a;b]$ izpildās nevienādība $f(x)\leq g(x)$, tad arī

$$\int\limits_a^bf(x)dx\leq\int\limits_a^bg(x)dx\/.$$

$\blacktriangleright$ Apskata funkciju $\varphi(x)=g(x)-f(x)$. Funkcija $\varphi$ ir integrējama kā divu integrējamu funkciju starpība un saskaņā ar 5. īpašību

$$\int\limits_a^b\varphi(x)dx=\int\limits_a^b\bigl(g(x)-f(x)\bigr)dx\geq 0\/,$$

jo visiem $x\in[a;b]$ $\varphi(x)\geq 0$.

Saskaņā ar noteiktā integrāļa linearitātes īpašību

$$\int\limits_a^b\bigl(g(x)-f(x)\bigr)dx=\int\limits_a^bg(x)dx-\int\limits_a^bf(x)dx\/.$$

Seko, ka

$$\int\limits_a^bg(x)dx-\int\limits_a^bf(x)dx\geq 0$$

jeb

$$\int\limits_a^bf(x)dx\leq\int\limits_a^bg(x)dx\/.\;\;\blacktriangleleft$$

7. īpašība.

[Noteiktā integrāļa novērtējums]

Ja $f$ ir integrējama funkcija intervālā $[a;b]$ un visiem $x\in[a;b]$ izpildās nevienādība $m\leq f(x)\leq M$ $(m,M\in\mathbb{R})$, tad

$$m(b-a)\leq\int\limits_a^bf(x)dx\leq M(b-a)\/.$$

(Pierādīt patstāvīgi^2.4).

2.9. piezīme. 

Nenegatīvas un nepārtrauktas funkcijas gadījumā 7. īpašībai var sniegt šādu ģeometrisku interpretāciju: līklīnijas trapeces laukums^2.5 ir ieslēgts starp divu šādu taisnstūru laukumiem (2.1. zīm.). Abiem taisnstūriem un līklīnijas trapecei ir kopīgs pamats. Pirmā taisnstūra augstums ir $m=\min\limits_{[a;b]}f(x)$, bet otrā taisnstūra augstums ir $M=\max\limits_{[a;b]}f(x)$.

2.1. zīm.

8. īpašība.

Ja $f$ ir integrējama funkcija intervālā $[a;b]$, tad

$$\left\vert\int\limits_a^bf(x)dx\right\vert\leq\int\limits_a^b\left\vert f(x)\right\vert dx\/.$$

$\blacktriangleright$ Saskaņā ar 1. īpašību $\vert f\vert$ ir integrējama funkcija intervālā $[a;b]$. Visiem $x\in[a;b]$ izpildās nevienādība

$$-\bigl\vert f(x)\bigr\vert\leq f(x)\leq\bigl\vert f(x)\bigr\vert\/.$$

Saskaņā ar noteiktā integrāļa monotonitātes īpašību

$$-\int\limits_a^b\bigl\vert f(x)\bigr\vert dx\leq \int\limits_a^bf(x)dx\leq\int\limits_a^b\bigl\vert f(x)\bigr\vert dx$$

jeb

$$\left\vert\int\limits_a^bf(x)dx\right\vert\leq\int\limits_a^b\bigl\vert f(x)\bigr\vert dx\/.\;\blacktriangleleft$$

9. īpašība.

[Noteiktā integrāļa aditivitātes īpašība]

Ja $f$ ir integrējama funkcija intervālā $[a;b]=[a;c]\cup[c;b]$, tad $f$ ir integrējama katrā no intervāliem $[a;c]$, $[c;b]$ un

$$\int\limits_a^bf(x)dx=\int\limits_a^cf(x)dx+\int\limits_c^bf(x)dx\/.$$

$\blacktriangleright$ Saskaņā ar 2. īpašību $f$ ir integrējama funkcija katrā no intervāliem $[a;c]$ un $[c;b]$. Apzīmē ar $\mathfrak{I}=\int\limits_a^bf(x)dx$, $\mathfrak{I}_1=\int\limits_a^cf(x)dx$, $\mathfrak{I}_2=\int\limits_c^bf(x)dx$. Atliek pierādīt, ka $\mathfrak{I}=\mathfrak{I}_1+\mathfrak{I}_2$.

Izveido intervāla $[a;b]$ tādu sasmalcinājumu, lai par vienu tā sadalījuma punktu būtu $c$.

Šim sasmalcinājumam atbilstošo integrālsummu $\sigma$ sadala summās $\sigma_1$ un $\sigma_2$, kur $\sigma_1$ - funkcijas $f$ integrālsumma intervālā $[a;c]$, bet $\sigma_2$ - funkcijas $f$ integrālsumma intervālā $[c;b]$.

$$\sigma=\sigma_1+\sigma_2\/.$$

Šajā vienādībā pāriet pie robežas, kad sasmalcinājuma solis $\lambda\rightarrow 0$.

$$\lim\limits_{\lambda\rightarrow 0}\sigma=\lim\limits_{\lambda\rig... ...d\text{jeb}\quad\mathfrak{I}=\mathfrak{I}_1+\mathfrak{I}_2.\;\blacktriangleleft$$

10. īpašība.

[Teorēma par noteiktā integrāļa vidējo vērtību]

Ja $f,g$ - nepārtrauktas funkcijas intervālā $[a;b]$, pie tam funkcija $g$ šajā intervālā saglabā zīmi, tad eksistē tāds $x_0\in[a;b]$, ka

$$\int\limits_a^bf(x)g(x)dx=f(x_0)\int\limits_a^bg(x)dx\/.$$

$\blacktriangleright$ Abi integrāļi eksistē, jo $g$ un $fg$ - nepārtrauktas funkcijas intervālā $[a;b]$ (funkcija $fg$ - nepārtraukta intervālā $[a;b]$ kā divu nepārtrauktu funkciju reizinājums).

Pieņem, ka visiem $x\in[a;b]$ $g(x)\geq 0$.

Apzīmē ar $m=\min\limits_{[a;b]}f(x)$, $M=\max\limits_{[a;b]}f(x)$. Saskaņā ar Veierštrāsa otro teorēmu eksistē tādi $x_1,x_2\in[a;b]$, ka $m=f(x_1)$, $M=f(x_2)$.

Visiem $x\in[a;b]$ izpildās nevienādība

$$f(x_1)\leq f(x)\leq f(x_2)\/.$$

Reizina šo nevienādību ar $g(x)\geq 0$

$$f(x_1)g(x)\leq f(x)g(x)\leq f(x_2)g(x)\/.$$

Saskaņā ar noteiktā integrāļa monotonitātes īpašību un 4. īpašību

$$f(x_1)\int\limits_a^bg(x)dx\leq\int\limits_a^bf(x)g(x)dx\leq f(x_2)\int\limits_a^bg(x)dx\/.$$

Tā kā $g(x)\geq 0$, tad ir iespējami divi gadījumi:

1. $\int\limits_a^bg(x)dx=0$.
   No nevienādības seko, ka $\int\limits_a^bf(x)g(x)dx=0$, tāpēc par $x_0$ der jebkurš intervāla $[a;b]$ punkts.
2. $\int\limits_a^bg(x)dx>0$.
   Izdala nevienādību ar $\int\limits_a^bg(x)dx$.
   $$f(x_1)\leq\frac{\int\limits_a^bf(x)g(x)dx}{\int\limits_a^bg(x)dx}\leq f(x_2)\/.$$
   No šīs nevienādības seko, ka
   $$\frac{\int\limits_a^bf(x)g(x)dx}{\int\limits_a^bg(x)dx}$$
   ir viena no funkcijas $f$ starpvērtībām. Saskaņā ar Bolcano-Veierštrāsa teorēmu par nepārtrauktas funkcijas starpvērtībām eksistē tāds
   $x_0\in[a;b]$, ka
   $$f(x_0)=\frac{\int\limits_a^bf(x)g(x)dx}{\int\limits_a^bg(x)dx}\/,$$
   jeb
   $$\int\limits_a^bf(x)g(x)dx=f(x_0)\int\limits_a^bg(x)dx\/.\;\blacktriangleleft$$

Sekas.

Ja $f$ ir nepārtraukta funkcija intervālā $[a;b]$, tad eksistē tāds $x_0\in[a;b]$, ka $\int\limits_a^bf(x)dx=f(x_0)(b-a)$.

$\blacktriangleright$ Apskata funkciju $g(x)=1$. Saskaņā ar teorēmu par noteiktā integrāļa vidējo vērtību

$$\int\limits_a^bf(x)dx=f(x_0)\int\limits_a^bdx$$   jeb$$\quad \int\limits_a^bf(x)dx=f(x_0)(b-a)\/.\;\;\blacktriangleleft$$

2.10. piezīme. 

$\phantom{}$

1. Nenegatīvas un nepārtrauktas funkcijas gadījumā šīm sekām var sniegt šādu ģeometrisku interpretāciju: eksistē tāds taisnstūris, kura laukums ir vienāds ar līklīnijas trapeces laukumu (2.2. zīm.). Taisnstūrim un līklīnijas trapecei ir kopīgs pamats, bet taisnstūra augstums ir $f(x_0)$.

   

   2.2. zīm.

2. Nosacījums, lai funkcija $g$ saglabā zīmi, ir būtisks. Piemēram, ja izvēlas divas intervālā $[0;2\pi]$ nepārtrauktas funkcijas $f(x)=g(x)=\sin x$, tad, izskaitļojot integrāļus^2.6
   $$\int\limits_0^{2\pi}f(x)g(x)dx$$   un$$\quad\int\limits_0^{2\pi}g(x)dx\/,$$
   iegūst, ka
   $$\int\limits_0^{2\pi}f(x)g(x)dx=\pi$$   un$$\quad\int\limits_0^{2\pi}g(x)dx=0\/.$$
   Šajā gadījumā nav tādas vērtības $x_0\in[0;2\pi]$, kurai izpildītos vienādība
   $$\int\limits_0^{2\pi}f(x)g(x)dx=f(x_0)\int\limits_0^{2\pi}g(x)dx\/.$$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.6. Noteiktā integrāļa vispārinājums Augstāk: 2. NOTEIKTAIS INTEGRĀLIS Iepriekšējais: 2.4. Integrējamu funkciju klases