Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.7. Jautājumi Augstāk: 2. NOTEIKTAIS INTEGRĀLIS Iepriekšējais: 2.5. Noteiktā integrāļa īpašības

2.6. Noteiktā integrāļa vispārinājums

Definējot noteikto integrāli $\int\limits_a^bf(x)dx$ uzskatīja, ka $a<b$. Taču noteikto integrāli var vispārināt arī attiecībā uz tādiem gadījumiem, kad $a=b$ vai $a>b$.

Uzskata, ka

$$\int\limits_a^af(x)dx=0$$   un$$\quad\int\limits_a^bf(x)dx= -\int\limits_b^af(x)dx,\quad (a>b)\/.$$

Turpmāk, rakstot $\int\limits_a^bf(x)dx$, uzskata, ka $a<b$ vai $a=b$, vai $a>b$.

Šādam integrālim $\int\limits_a^bf(x)dx\;\;(a,b\in\mathbb{R})$ acīmredzami ir spēkā noteiktā integrāļa 1., 2., 3. un 4. īpašības, bet 5., 6. un 7. īpašības nav spēkā. 8. īpašības nevienādība iegūst šādu izskatu

$$\left\vert\int\limits_a^bf(x)dx\right\vert\leq\left\vert\int\limits_a^b\vert f(x)\vert dx\right\vert\/.$$

Piemēram, ja $a>b$, tad

$$\begin{multline*} \left\vert\int\limits_a^bf(x)dx\right\vert=\left\vert-\int\lim... ...left\vert\int\limits_a^b\bigl\vert f(x)\bigr\vert dx\right\vert. \end{multline*}$$

9. īpašība var tikt formulēta šādi:

Ja funkcija $f$ - integrējama uz lielākā no intervāliem ar galapunktiem $a, b, c$, tad tā ir integrējama arī katrā no pārējiem diviem intervāliem, pie tam

$$\int\limits_a^bf(x)dx=\int\limits_a^cf(x)dx+\int\limits_c^bf(x)dx\/.$$

Piemēram, ja $a<b<c$, tad saskaņā ar noteiktā integrāļa aditivitāti

$$\int\limits_a^cf(x)dx=\int\limits_a^bf(x)dx+\int\limits_b^cf(x)dx$$

jeb

$$\int\limits_a^cf(x)dx=\int\limits_a^bf(x)dx-\int\limits_c^bf(x)dx$$

jeb

$$\int\limits_a^bf(x)dx=\int\limits_a^cf(x)dx+\int\limits_c^bf(x)dx\/.$$

Analogi var pamatot visus pārējos iespējamos gadījumus. 10. īpašība un tās sekas arī ir spēkā.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.7. Jautājumi Augstāk: 2. NOTEIKTAIS INTEGRĀLIS Iepriekšējais: 2.5. Noteiktā integrāļa īpašības