Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.5. Noteiktā integrāļa īpašības Augstāk: 2. NOTEIKTAIS INTEGRĀLIS Iepriekšējais: 2.3. Funkciju integrējamības nepieciešamais un pietiekamais

2.4. Integrējamu funkciju klases

2.3. teorēma. 

[Funkcijas integrējamības pietiekamais nosacījums].

Ja funkcija $f$ ir nepārtraukta slēgtā intervālā $[a;b]$, tad tā ir integrējama šajā intervālā.

$\blacktriangleright$ Tā kā funkcija $f$ ir nepārtraukta slēgtā intervālā $[a;b]$, tad, pirmkārt, tā ir ierobežota šajā intervālā un, otrkārt, saskaņā ar Kantora teorēmu tā ir vienmērīgi nepārtraukta šajā intervālā. Saskaņā ar intervālā vienmērīgi nepārtrauktas funkcijas definīciju jebkuram $\varepsilon >0$ eksistē tāds $\delta >0$, ka visiem $x',x''\in [a;b]$, kuriem $\vert x''-x'\vert<\delta$, izpildās nevienādība

$$\bigl\vert f(x'')-f(x')\bigr\vert<\frac{\varepsilon}{b-a}\/.$$

Ja izveido intervāla $[a;b]$ sasmalcinājumu ar soli $\lambda <\delta$, tad visiem $x_k',x_k''\in\left[x_{k-1};x_k\right]$ izpildās nevienādība

$$\bigl\vert f\left(x_k''\right)-f\left(x_k'\right)\bigr\vert< \frac{\varepsilon}{b-a}\quad (k=1,2,\ldots,n)\/.$$

Tā kā funkcija $f$ ir nepārtraukta intervālā $[a;b]$, tad tā ir nepārtraukta katrā no intervāliem $[x_{k-1};x_k]\quad (k=1,2,\ldots,n)$.

Saskaņā ar Veierštrāsa otro teorēmu tā sasniedz katrā no šiem intervāliem savu vismazāko un vislielāko vērtību. Tas nozīmē, ka intervāla $[a;b]$ sasmalcinājumiem ar soli $\lambda <\delta$ izpildās nevienādība

$$M_k-m_k<\frac{\varepsilon}{b-a}\/,$$

kur

$$m_k=\inf\limits_{[x_{k-1};x_k]}f(x)=\min\limits_{[x_{k-1};x_k]}f(x),\;\;\; M_k=\sup\limits_{[x_{k-1};x_k]}f(x)=\max\limits_{[x_{k-1};x_k]}f(x)\/,$$

$(k=1,2,\ldots,n)$.

Apskata

$$\begin{multline*} \quad\qquad S-s=\sum_{k-1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k<\sum_{k-1}^n\f... ...n\Delta x_k=\frac{\varepsilon}{b-a}(b-a)=\varepsilon.\quad\qquad \end{multline*}$$

Saskaņā ar 2.2. teorēmu funkcija $f$ ir integrējama intervālā $[a;b]$. $\blacktriangleleft$

2.4. teorēma. 

[Funkcijas integrējamības pietiekamais nosacījums]

Ja funkcija $f$ ir ierobežota un monotona intervālā $[a;b]$, tad tā ir integrējama šajā intervālā.

$\blacktriangleright$ Noteiktības dēļ pieņemsim, ka $f$ ir intervālā $[a;b]$ nedilstoša funkcija.

Šoreiz

$$m_k=f\left(x_{k-1}\right),\quad M_k=f\left(x_k\right)\/.$$

Jebkuram $\varepsilon >0$ izvēlas $\delta=\frac{\varepsilon}{f(b)-f(a)}>0$, ka visiem sasmalcinājumiem ar soli $\lambda <\delta$ izpildās nevienādība

$$\Delta x_k<\frac{\varepsilon}{f(b)-f(a)}\/.$$

Tāpēc

$$\begin{multline*} S-s=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k<\frac{\varepsilon}{f(b)-f(... ...frac{\varepsilon}{f(b)-f(a)}\,\bigl(f(b)-f(a)\bigr)=\varepsilon. \end{multline*}$$

Saskaņa ar 2.2. teorēmu $f$ ir intervālā $[a;b]$ integrējama funkcija. $\blacktriangleleft$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.5. Noteiktā integrāļa īpašības Augstāk: 2. NOTEIKTAIS INTEGRĀLIS Iepriekšējais: 2.3. Funkciju integrējamības nepieciešamais un pietiekamais