Matemātika
DU TSC
Nākamais: 2.4. Integrējamu funkciju klases
Augstāk: 2. NOTEIKTAIS INTEGRĀLIS
Iepriekšējais: 2.2. Darbū summas un to īpašības
-
2.2. teorēma.
- Intervālā
definēta un ierobežota funkcija
ir integrējama šajā intervālā tad un tikai tad, ja jebkuram
eksistē tāds
, ka visiem
sasmalcinājumiem ar soli
izpildās
nevienādība
.
Nepieciešamība. Tā kā funkcija
-
integrējama intervālā
, tad eksistē galīga robeža
Pamatojoties uz šādas robežas definīciju, jebkuram
eksistē tāds
, ka visiem
sasmalcinājumiem ar
soli
izpildās nevienādība
![$\displaystyle \vert\sigma-\mathfrak{I}\vert<\frac{\varepsilon}{4}.$](img574.gif) |
(2.3) |
Fiksē vienu tādu intervāla
sasmalcinājumu, kuram izpildās
nevienādība (2.3). Šim intervāla
sasmalcinājumam atbilstošās Darbū summas apzīmē ar
un
. Pēc
Darbū summu 2. īpašības starppunktus var
izvēlēties tā, lai izpildās nevienādības
![$\displaystyle S-\sigma'<\frac{\varepsilon}{4}$](img576.gif) |
(2.4) |
un
![$\displaystyle \sigma''-s<\frac{\varepsilon}{4}.$](img577.gif) |
(2.5) |
Nevienādība (2.3) izpildās arī integrālsummām
un
.
Apskata
Tādējādi
![$\displaystyle S-s<\varepsilon.$](img581.gif) |
(2.6) |
Pietiekamība. Pēc dotā jebkuram
eksistē tāds
, ka visiem intervāla
sasmalcinājumiem ar soli
izpildās nevienādība (2.6).
Pēc Darbū summu 6. īpašības
![$\displaystyle s\leq\underline{\mathfrak{I}}\leq\overline{\mathfrak{I}}\leq S.$](img582.gif) |
(2.7) |
Apskata
.
Tātad nenegatīvā konstante
ir pēc patikas
maza. Seko, ka šī konstante ir nulle jeb
.
Tāpēc nevienādība (2.7) izskatās šādi:
![$\displaystyle s\leq\mathfrak{I}\leq S.$](img586.gif) |
(2.8) |
Pēc Darbū summu 1. īpašības
![$\displaystyle s\leq\sigma\leq S.$](img587.gif) |
(2.9) |
No nevienādības (2.8) atņemot nevienādību
(2.9), iegūst nevienādību
jeb
![$\displaystyle -(S-s)\leq\mathfrak{I}-\sigma\leq (S-s).$](img589.gif) |
(2.10) |
Nevienādība (2.10) ir ekvivalenta nevienādībai
Tā kā
, tad
.
Seko, ka
.
Tātad funkcija
ir integrējama intervālā
.
-
2.5. piezīme.
- No 2.2. teorēmas izriet, ka vienādība
ir funkcijas integrējamības
intervālā
nepieciešamais un pietiekamais nosacījums.
Matemātika
DU TSC
Nākamais: 2.4. Integrējamu funkciju klases
Augstāk: 2. NOTEIKTAIS INTEGRĀLIS
Iepriekšējais: 2.2. Darbū summas un to īpašības
2002-11-06