Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.4. Integrējamu funkciju klases Augstāk: 2. NOTEIKTAIS INTEGRĀLIS Iepriekšējais: 2.2. Darbū summas un to īpašības

2.3. Funkciju integrējamības nepieciešamais un pietiekamais nosacījums

2.2. teorēma. 

Intervālā $[a;b]$ definēta un ierobežota funkcija ir integrējama šajā intervālā tad un tikai tad, ja jebkuram $\varepsilon >0$ eksistē tāds $\delta >0$, ka visiem $[a;b]$ sasmalcinājumiem ar soli $\lambda <\delta$ izpildās nevienādība $S-s<\varepsilon$.

$\blacktriangleright$ Nepieciešamība. Tā kā funkcija $f$ - integrējama intervālā $[a;b]$, tad eksistē galīga robeža

$$\mathfrak{I}=\lim\limits_{\lambda\rightarrow 0}\sigma=\int^b\limits_af(x)dx\/.$$

Pamatojoties uz šādas robežas definīciju, jebkuram $\varepsilon >0$ eksistē tāds $\delta >0$, ka visiem $[a;b]$ sasmalcinājumiem ar soli $\lambda <\delta$ izpildās nevienādība

$$\vert\sigma-\mathfrak{I}\vert<\frac{\varepsilon}{4}.$$ (2.3)

Fiksē vienu tādu intervāla $[a;b]$ sasmalcinājumu, kuram izpildās nevienādība (2.3). Šim intervāla $[a;b]$ sasmalcinājumam atbilstošās Darbū summas apzīmē ar $s$ un $S$. Pēc Darbū summu 2. īpašības starppunktus var izvēlēties tā, lai izpildās nevienādības

$$S-\sigma'<\frac{\varepsilon}{4}$$ (2.4)

un

$$\sigma''-s<\frac{\varepsilon}{4}.$$ (2.5)

Nevienādība (2.3) izpildās arī integrālsummām $\sigma'$ un $\sigma''$.

Apskata

$$\begin{multline*} \qquad S-s=(S-\sigma')+(\sigma'-\mathfrak{I})+(\mathfrak{I}-\s... ...+\frac{\varepsilon}{4}+ \frac{\varepsilon}{4}=\varepsilon.\qquad \end{multline*}$$

Tādējādi

$$S-s<\varepsilon.$$ (2.6)

Pietiekamība. Pēc dotā jebkuram $\varepsilon >0$ eksistē tāds $\delta >0$, ka visiem intervāla $[a;b]$ sasmalcinājumiem ar soli $\lambda <\delta$ izpildās nevienādība (2.6).

Pēc Darbū summu 6. īpašības

$$s\leq\underline{\mathfrak{I}}\leq\overline{\mathfrak{I}}\leq S.$$ (2.7)

Apskata $\overline{\mathfrak{I}}-\underline{\mathfrak{I}}\leq S-s<\varepsilon$.

Tātad nenegatīvā konstante $\overline{\mathfrak{I}}-\underline{\mathfrak{I}}$ ir pēc patikas maza. Seko, ka šī konstante ir nulle jeb $\overline{\mathfrak{I}}=\underline{\mathfrak{I}}=\mathfrak{I}$. Tāpēc nevienādība (2.7) izskatās šādi:

$$s\leq\mathfrak{I}\leq S.$$ (2.8)

Pēc Darbū summu 1. īpašības

$$s\leq\sigma\leq S.$$ (2.9)

No nevienādības (2.8) atņemot nevienādību (2.9), iegūst nevienādību

$$s-S\leq\mathfrak{I}-\sigma\leq S-s$$

jeb

$$-(S-s)\leq\mathfrak{I}-\sigma\leq (S-s).$$ (2.10)

Nevienādība (2.10) ir ekvivalenta nevienādībai

$$\vert\mathfrak{I}-\sigma\vert\leq S-s\/.$$

Tā kā $S-s<\varepsilon$, tad $\vert\mathfrak{I}-\sigma\vert<\varepsilon$. Seko, ka $\mathfrak{I}=\lim\limits_{\lambda\rightarrow 0}\sigma$. Tātad funkcija $f$ ir integrējama intervālā $[a;b]$. $\blacktriangleleft$

2.5. piezīme. 

No 2.2. teorēmas izriet, ka vienādība $\underline{\mathfrak{I}}=\overline{\mathfrak{I}}$ ir funkcijas integrējamības intervālā $[a;b]$ nepieciešamais un pietiekamais nosacījums.

Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.4. Integrējamu funkciju klases Augstāk: 2. NOTEIKTAIS INTEGRĀLIS Iepriekšējais: 2.2. Darbū summas un to īpašības