Matemātika
DU TSC
Nākamais: 2.3. Funkciju integrējamības nepieciešamais un pietiekamais
Augstāk: 2. NOTEIKTAIS INTEGRĀLIS
Iepriekšējais: 2.1. Noteiktā integrāļa jēdziens
Apskata intervālā
ierobežotu funkciju
. Sasmalcina šo
intervālu ar soli
. Tā kā funkcija ir ierobežota
intervālā
, tad tā būs ierobežota katrā no intervāliem
.
Eksistē galīgi
un
.
Izveido šādas summas:
un
-
2.3. definīcija.
- Par apakšējo (vai augšējo) Darbū2.1 summu sauc

vai
-
2.4. piezīme.
- Atšķirībā no integrālsummas, kas atkarīga gan no
intervāla
sasmalcinājuma, gan no starppunktu izvēles, Darbū
summas ir atkarīgas tikai no intervāla sasmalcinājuma.
- 1. īpašība.
- Intervāla
jebkuram sasmalcinājumam
izpildās nevienādība
.
(Pierādīt patstāvīgi).
- 2. īpašība.
- Intervāla
jebkuram fiksētam
sasmalcinājumam un jebkuram
starppunktus
var izvēlēties tā, lai izpildās nevienādība
(analogi
).
Tā kā
,
tad saskaņā ar funkcijas augšējā sliekšņa definīciju eksistē tāds
, ka izpildās nevienādība

jeb
Nevienādības abas puses
reizina ar
:
Sasummē visas šādas nevienādības un iegūst, ka
Analogi var parādīt, ka starppunktus var izvēlēties tā, lai izpildās
nevienādība
- 3. īpašība.
- Ja intervāla
sasmalcinājumam pievieno
jaunus dalījuma punktus, tad augšējā Darbū summa nevar
palielināties, bet apakšējā Darbū summa nevar samazināties.
Intervāla
sasmalcinājumam
pievieno vienu dalījuma punktu
(
-
fiksēts).
Apzīmē ar
Acīmredzami,
,
,
.
Apskata sākotnējā sasmalcinājuma un iegūtā sasmalcinājuma augšējo
Darbū summu starpību
Tātad
.
Analogi pierāda, ka
.
- 4. īpašība.
- Intervāla
jebkuriem diviem
sasmalcinājumiem viena sasmalcinājuma apakšējā Darbū summa
nepārsniedz otra sasmalcinājuma augšējo Darbū summu, t.i.,

analogi
(Pierādīt patstāvīgi).
- 5. īpašība.
- Apakšējo Darbū summu kopai
eksistē galīgs
augšējais slieksnis
, bet augšējo Darbū
summu kopai
eksistē galīgs apakšējais slieksnis
.
(Pierādīt patstāvīgi).
- 6. īpašība.
- Intervālā
jebkuram sasmalcinājumam
izpildās nevienādība
Tā kā
,
tad
 |
(2.1) |
Analogi
 |
(2.2) |
Atliek pierādīt, ka
.
Pieņem pretējo, t.i., ka
. Izvēlas
.
Tā kā
, tad eksistē tāda Darbū
apakšējā summa
, ka
. Analogi
eksistē tāda
, ka
.
Apskata
Tātad
. Šī nevienādība ir pretrunā ar Darbū summu
4. īpašību. Tādējādi
. Apvienojot
šo nevienādību ar nevienādībām (2.1) un
(2.2) iegūst, ka
.

Matemātika
DU TSC
Nākamais: 2.3. Funkciju integrējamības nepieciešamais un pietiekamais
Augstāk: 2. NOTEIKTAIS INTEGRĀLIS
Iepriekšējais: 2.1. Noteiktā integrāļa jēdziens
2002-11-06