Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.3. Funkciju integrējamības nepieciešamais un pietiekamais Augstāk: 2. NOTEIKTAIS INTEGRĀLIS Iepriekšējais: 2.1. Noteiktā integrāļa jēdziens

2.2. Darbū summas un to īpašības

Apskata intervālā $[a;b]$ ierobežotu funkciju $f$. Sasmalcina šo intervālu ar soli $\lambda$. Tā kā funkcija ir ierobežota intervālā $[a;b]$, tad tā būs ierobežota katrā no intervāliem $[x_{k-1};x_k]$.

Eksistē galīgi $m_k=\inf\limits_{[x_{k-1}; x_k]}f(x)$ un $M_k=\sup\limits_{[x_{k-1}; x_k]}f(x)$ $(k=1,2,\ldots,n)$.

Izveido šādas summas:

$$s=m_1\Delta x_1+m_2\Delta x_2+\cdots +m_n\Delta x_n=\sum^n_{k=1}m_k\Delta x_k$$

un

$$S=M_1\Delta x_1+M_2\Delta x_2+\cdots +M_n\Delta x_n=\sum^n_{k=1}M_k\Delta x_k\/.$$

2.3. definīcija. 

Par apakšējo (vai augšējo) Darbū^2.1 summu sauc

$$s=\sum^n_{k=1}m_k\Delta x_k\quad ($$vai$$\quad S=\sum^n_{k=1}M_k\Delta x_k)\/.$$

2.4. piezīme. 

Atšķirībā no integrālsummas, kas atkarīga gan no intervāla $[a;b]$ sasmalcinājuma, gan no starppunktu izvēles, Darbū summas ir atkarīgas tikai no intervāla sasmalcinājuma.

1. īpašība.

Intervāla $[a;b]$ jebkuram sasmalcinājumam izpildās nevienādība $s\leq \sigma\leq S$.

(Pierādīt patstāvīgi).

2. īpašība.

Intervāla $[a;b]$ jebkuram fiksētam sasmalcinājumam un jebkuram $\varepsilon >0$ starppunktus $\xi_k$ var izvēlēties tā, lai izpildās nevienādība $S-\sigma<\varepsilon$ (analogi $\sigma-s<\varepsilon$).

$\blacktriangleright$ Tā kā $M_k=\sup\limits_{[x_{k-1}; x_k]}f(x)$, tad saskaņā ar funkcijas augšējā sliekšņa definīciju eksistē tāds $\xi_k\in[x_{k-1};x_k]$, ka izpildās nevienādība

$$f(\xi_k)>M_k-\frac{\varepsilon}{b-a}$$   jeb$$\quad M_k-f(\xi_k)<\frac{\varepsilon}{b-a}\/.$$

Nevienādības abas puses reizina ar $\Delta x_k$:

$$M_k\Delta x_k-f(\xi_k)\Delta x_k<\frac{\varepsilon}{b-a}\Delta x_k\quad (k=1,2,\ldots,n)\/.$$

Sasummē visas šādas nevienādības un iegūst, ka

$$S-\sigma<\varepsilon\/.$$

Analogi var parādīt, ka starppunktus var izvēlēties tā, lai izpildās nevienādība

$$\sigma-s<\varepsilon\/.\blacktriangleleft$$

3. īpašība.

Ja intervāla $[a;b]$ sasmalcinājumam pievieno jaunus dalījuma punktus, tad augšējā Darbū summa nevar palielināties, bet apakšējā Darbū summa nevar samazināties.

$\blacktriangleright$ Intervāla $[a;b]$ sasmalcinājumam

$$a=x_0<x_1<\cdots<x_{k-1}<x_n=b$$

pievieno vienu dalījuma punktu $x'\in(x_{k-1};x_k)$ ($k$ - fiksēts).

Apzīmē ar

$$M_k=\sup\limits_{[x_{k-1};x_k]}f(x),\quad M'_k=\sup\limits_{[x_{k-1};x']}f(x),\quad M''_k=\sup\limits_{[x';x_k]}f(x),$$

$$\Delta x_k=x_k-x_{k-1}\quad\Delta x'_k=x'-x_{k-1},\quad \Delta x''_k=x_k-x'\/.$$

Acīmredzami, $\Delta x_k=\Delta x'_k+\Delta x''_k$, $M'_k\leq M_k$, $M''_k\leq M_k$.

Apskata sākotnējā sasmalcinājuma un iegūtā sasmalcinājuma augšējo Darbū summu starpību

$$\begin{multline*} S-S'=M_k\Delta x_k-(M'_k\Delta x'_k+M''_k\Delta x''_k)=\\ =M_... ... x''_k=\\ =(M_k-M'_k)\Delta x'_k+(M_k-M''_k)\Delta x''_k\geq 0. \end{multline*}$$

Tātad $S\geq S'$.

Analogi pierāda, ka $s\leq s'$. $\blacktriangleleft$

4. īpašība.

Intervāla $[a;b]$ jebkuriem diviem sasmalcinājumiem viena sasmalcinājuma apakšējā Darbū summa nepārsniedz otra sasmalcinājuma augšējo Darbū summu, t.i.,

$$s'\leq S''\quad ($$analogi$$\;s''\leq S')\/.$$

(Pierādīt patstāvīgi).

5. īpašība.

Apakšējo Darbū summu kopai $\{s\}$ eksistē galīgs augšējais slieksnis $\underline{\mathfrak{I}}=\sup\{s\}$, bet augšējo Darbū summu kopai $\{S\}$ eksistē galīgs apakšējais slieksnis $\overline{\mathfrak{I}}=\inf\{S\}$.

(Pierādīt patstāvīgi).

6. īpašība.

Intervālā $[a;b]$ jebkuram sasmalcinājumam izpildās nevienādība

$$s\leq\underline{\mathfrak{I}}\leq\overline{\mathfrak{I}}\leq S\/.$$

$\blacktriangleright$ Tā kā $\underline{\mathfrak{I}}=\sup\{s\}$, tad

$$s\leq \underline{\mathfrak{I}}.$$ (2.1)

Analogi

$$\overline{\mathfrak{I}}\leq S.$$ (2.2)

Atliek pierādīt, ka $\underline{\mathfrak{I}}\leq\overline{\mathfrak{I}}$.

Pieņem pretējo, t.i., ka $\underline{\mathfrak{I}}>\overline{\mathfrak{I}}$. Izvēlas $\varepsilon=\frac{\underline{\mathfrak{I}}-\overline{\mathfrak{I}}}{2}>0$. Tā kā $\underline{\mathfrak{I}}=\sup\{s\}$, tad eksistē tāda Darbū apakšējā summa $s'$, ka $s'>\underline{\mathfrak{I}}-\frac{\varepsilon}{2}$. Analogi eksistē tāda $S''$, ka $S''<\overline{\mathfrak{I}}+\frac{\varepsilon}{2}$.

Apskata

$$s'-S''>\left(\underline{\mathfrak{I}}-\frac{\varepsilon}{2}\right... ...-\overline{\mathfrak{I}})-\varepsilon=2\varepsilon-\varepsilon=\varepsilon>0\/.$$

Tātad $s'-S''>0$. Šī nevienādība ir pretrunā ar Darbū summu 4. īpašību. Tādējādi $\underline{\mathfrak{I}}\leq\overline{\mathfrak{I}}$. Apvienojot šo nevienādību ar nevienādībām (2.1) un (2.2) iegūst, ka $s\leq\underline{\mathfrak{I}}\leq\overline{\mathfrak{I}}\leq S$. $\blacktriangleleft$

Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.3. Funkciju integrējamības nepieciešamais un pietiekamais Augstāk: 2. NOTEIKTAIS INTEGRĀLIS Iepriekšējais: 2.1. Noteiktā integrāļa jēdziens