Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.2. Darbū summas un to īpašības Augstāk: 2. NOTEIKTAIS INTEGRĀLIS Iepriekšējais: 2. NOTEIKTAIS INTEGRĀLIS

2.1. Noteiktā integrāļa jēdziens

Apskata intervālā $[a,b]$ definētu funkciju $f$. Sasmalcina šo intervālu ar starppunktu palīdzību:

$$a=x_0<x_1<\cdots <x_{k-1}<x_k<\cdots <x_n=b\/.$$

Apzīmē ar $\lambda=\max\limits_{1\leq k\leq n}\Delta x_k$, kur $\Delta x_k=x_k-x_{k-1}$ un nosauc par sasmalcinājuma soli.

Katrā no intervāliem $[x_{k-1},x_k]$ izvēlas pa patvaļīgam punktam $\xi_k$
$(k=1,2,\ldots,n)$; izskaitļo funkcijas vērtību katrā no punktiem $\xi_k$ un sastāda šādu summu:

$$\sigma=f(\xi_1)\Delta x_1+f(\xi_2)\Delta x_2+\cdots +f(\xi_n)\Delta x_n= \sum^n_{k=1}f(\xi_k)\Delta x_k\/.$$

Šādu summu $\sigma$ sauc par funkcijas $f$ integrālsummu intervālā $[a,b]$, kas atbilst konkrētam intervāla sasmalcinājumam un konkrētai starppunktu $\xi_k$ izvēlei (turpmāk: integrālsumma).

2.1. definīcija. 

Skaitli $\mathfrak{I}$ sauc par integrālsummas $\sigma$ robežu, kad sasmalcinājuma solis $\lambda\rightarrow 0$, ja jebkuram $\varepsilon >0$ eksistē tāds $\delta >0$, ka visiem sasmalcinājumiem ar soli $\lambda <\delta$ izpildās nevienādība

$$\left\vert\sigma -\mathfrak{I}\right\vert<\varepsilon\/.$$

2.2. definīcija. 

Ja integrālsummai $\sigma$ eksistē galīga robeža $\mathfrak{I}$, kad $\lambda\rightarrow 0$, tad funkciju $f$ sauc par integrējamu intervālā $[a,b]$.

Robežu $\mathfrak{I} =\lim\limits_{\lambda\rightarrow 0}=\sigma$ sauc par funkcijas $\mathbf{f}$ noteikto integrāli intervālā $\mathbf{[a,b]}$ un apzīmē ar simbolu $\int^b\limits_af(x)dx$.

Tādējādi noteiktā integrāļa definēšanas formula ir:

$$\boxed{\int^b\limits_af(x)dx=\lim\limits_{\lambda\rightarrow 0}\sum^n_{k=1}f(\xi_k)\Delta x_k\/.}$$

Šajā formulā

$x$ sauc par integrēšanas mainīgo,

$f$ - par zemintegrāļa funkciju,

$f(x)dx$ - par zemintegrāļa izteiksmi,

$a$ - par integrēšanas apakšējo robežu,

$b$ - par integrēšanas augšējo robežu,

$[a,b]$ - par integrēšanas intervālu.

2.1. piezīme. 

No noteiktā integrāļa definīcijas izriet, ka noteiktais integrālis nav atkarīgs no integrēšanas mainīgā, t.i.,

$$\int^b\limits_af(x)dx=\int^b\limits_af(t)dt=\cdots =\int^b\limits_af(u)du\/.$$

Apskata intervālā $[a,b]$ konstantu funkciju $f(x)=C$. Šādai funkcijai $f(\xi_k)=C$ neatkarīgi no starppunktu $\xi_k$ izvēles. Integrālsumma

$$\sigma =\sum^n_{k=1}C\Delta x_k=C\sum^n_{k=1}\Delta x_k=C(b-a)~=const.$$

Acīmredzami, eksistē galīga robeža $\mathfrak{I}=\lim\limits_{\lambda\rightarrow 0}\sigma=C(b-a)$. Seko, ka $f$ ir integrējama funkcija intervālā $[a,b]$ un

$$\int^b\limits_aCdx=C(b-a)\/.$$

2.2. piezīme. 

Acīmredzami, katra intervālā $[a,b]$ integrējama funkcija ir ierobežota šajā intervālā, jo pieņemot pretējo, t.i., ka funkcija nav ierobežota intervālā $[a,b]$, tā būs neierobežota vismaz vienā no intervāliem $[x_{k-1},x_k]$. Starppunktu $\xi_k$ varēs izvēlēties tā, lai integrālsumma $\sigma$ būtu pēc patikas liela. Seko, ka galīga robeža no $\sigma$ nevar eksistēt.

Tādējādi funkcijas ierobežotība intervālā $[a,b]$ ir tās integrējamības šajā intervālā nepieciešamais nosacījums.

2.3. piezīme. 

Ne katra intervālā $[a,b]$ ierobežota funkcija ir integrējama šajā intervālā. Citiem vārdiem, funkcijas ierobežotība ir tās integrējamības tikai nepieciešamais (nav pietiekamais) nosacījums.

Piemēram, Dirihlē funkcija

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 0, & \text{ja} & x~-\text{intervāl... ... \text{ja} & x~-\text{intervāla $[a,b]$ racionāls skaitlis,} \end{array}\right.$$

ir ierobežota funkcija. Ja par starppunktiem $\xi_k$ izvēlas racionālus skaitļus, tad integrālsumma

$$\sigma =\sum^n_{k=1}f(\xi_k)\Delta x_k=\sum^n_{k=1}1\cdot\Delta x_k=b-a\neq 0\/.$$

Ja par starppunktiem $\xi_k$ izvēlas iracionālus skaitļus, tad $\sigma=0$. Acīmredzami, robeža no $\sigma$, kad $\lambda\rightarrow 0$, neeksistē un Dirihlē funkcija nav integrējama funkcija.

2.1. teorēma. 

[Noteiktā integrāļa vienīgums].

Ja funkcijai $f$ intervālā $[a,b]$ eksistē noteiktais integrālis, tad vienīgā veidā.

$\blacktriangleright$ Pieņem pretējo, t.i., ka funkcijas $f$ integrālsummai intervālā $[a,b]$ eksistē divas dažādas galīgas robežas $\mathfrak{I}_1\neq \mathfrak{I}_2$. Izvēlas

$$\varepsilon =\frac{\vert\mathfrak{I}_1-\mathfrak{I}_2\vert}{3}>0\/.$$

Tā kā $\mathfrak{I}_1$ ir integrālsummas robeža, tad šādam $\varepsilon$ eksistē $\delta_1 >0$, ka visiem $\lambda <\delta_1$ izpildās nevienādība

$$\vert\sigma_1-\mathfrak{I}_1\vert<\varepsilon\/.$$

Analogi - priekš $\mathfrak{I}_2$: eksistē $\delta_2 >0$, ka visiem $\lambda <\delta_2$ izpildās nevienādība

$$\vert\sigma_2-\mathfrak{I}_2\vert<\varepsilon\/.$$

Apzīmē ar $\delta_0=\min\{\delta_1,\delta_2\}$ un sasmalcinājumam ar soli $\lambda <\delta_0$ atbilstošo integrālsummu apzīmē ar $\sigma_0$. Intervāla $[a,b]$ sasmalcinājumam ar soli
$\lambda <\delta_0$ izpildās vienlaicīgi nevienādības

$$\vert\sigma_0-\mathfrak{I}_1\vert<\varepsilon$$   un$$\quad \vert\sigma_0-\mathfrak{I}_2\vert<\varepsilon\/.$$

Apskata

$$\begin{multline*} \vert\mathfrak{I}_1-\mathfrak{I}_2\vert=\bigl\vert(\mathfrak{I... ...varepsilon=\frac{2\vert\mathfrak{I}_1-\mathfrak{I}_2\vert}{3}\/. \end{multline*}$$

Tātad

$$\vert\mathfrak{I}_1-\mathfrak{I}_2\vert\leq\frac{2}{3}\vert\mathfrak{I}_1-\mathfrak{I}_2\vert\/.$$

Seko, ka $1\leq\frac{2}{3}$. Pretruna. $\blacktriangleleft$ Matemātika DU TSC
Nākamais: 2.2. Darbū summas un to īpašības Augstāk: 2. NOTEIKTAIS INTEGRĀLIS Iepriekšējais: 2. NOTEIKTAIS INTEGRĀLIS